Pb exercice fonction convexe niv MPSI

[Darko]

Bonjour j'ai petit problème pour un exercice tiré d'une feuille d'exercice sur les fonctions convexes:
On a un entier n non nul et une famille Xi de n réels strictements positifs.
Le but est de montrer que:
n/(somme des 1/Xi) =< (racine n-ème du produit des Xi) =< (1/n) * (somme des Xi)

les sommes et le produits vont chacun de 1 à n

Le problème c'est que je ne sais pas comment démarer et je ne vois pas le raport avec les fonctions convexes, a part peut etre que n/(somme des 1/Xi) est l'inverse de (1/n) * (somme des Xi) et que la fonction inverse est convexe sur ]0;+oo[

De quoi pourais-je m'aider pour commencer? Merci d'avance.

[le_polytechnicien]

salut
esseye de resoudre cette exo a l aide de l inegalité de jordan :++:

[Darko]

Heuu merci mais je ne connais pas l'inégalité de Jordan, ou alors je ne connais pas son nom...
Et elle dit quoi l'inégalité de Jordan?

[Touriste]

Bonjour,

Pour résoudre ton exo, tu peux utiliser le fait que ln est concave.

[Darko]

Désolé mais je ne comprend toujours pas!

[le_polytechnicien]

tu peux me dire t es en quelle classe

[abel]

pour la 2eme égalité tu dis que ln() est concave donc :
ln(racine nieme de la somme des Xi)=1/n * somme des ln(Xi) <=ln(somme des Xi/n) (par concavité) donc on a :
ln(racine nieme de la somme des Xi)<=ln(somme des Xi/n) et comme ln est croissante...tu peux conclure....
Pour la 1ere inégalité j'ai pas encore trouvé mais si je me souviens bien c un truc assez classique en sup, essaie de chercher "moyenne arithmetique, geometrique dans google...tu trouveras certainement des preuves...
Bon courage.

[Bastien]

Pour la première inégalité tu passes au log, t'utilises sa concavité et tu repasses à l'exponentielle. Tu verras ça marche.

[kazeriahm]

si je puis me permettre, (je suis en mpsi) la méthode d'abel est niquelle mais tu est sensé démontrer un lemme je pense (ce qu'utilise abel mais qui n'est pas donné dans le cours de mpsi, enfin pas dans le mien en tout cas) :

f convexe sur I, x1 x2 ... xN appartenant a I, alors pour tout n-uplet (T1,T2,...,TN) de réels positifs tel que T1+T2+...+TN=1,

f(T1*x1+T2*x2+...+TN*xN)=
tu peux démontrer ceci par réccurence sur N, et pour l'heredité utilise l'associativité des barycentres (regarde ton cours de terminale si ca ne t'evoque rien). Fort de ce lemme tu as tous les arguments pour comprendre ce qu'a dit abel.