Exercice dérivées

[droopy5782]

Bonjour, j'ai un exercice de maths sur les dérivées que je ne comprend pas est-ce que quelqu'un pourrait m'aider SVP.
L'énoncé est: Déterminer trois réels a,b et c tels que la courbe d'équation y=ax+b+c/(x-1) passe par A(3.2), admette en ce point une tangente horizontale et possède au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation y=3x+2.
Voilà, alors comme je ne comprend rien à tous ce qui est tangente ...
Merci d'avance.

[titine]

Tu as 3 inconnues : a, b et c.
Et tu as 3 conditions qui vont te donner 3 équations permettant de déterminer ces 3 nombres a, b et c.

1er condition :
la courbe d'équation y=ax+b+c/(x-1) passe par A(3.2)
Donc les coordonnées da a vérifient cette équation.
Ce qui donne : ..................

[titine]

2ème condition :
la courbe d'équation y=ax+b+c/(x-1) admet au point A(3.2) une tangente horizontale.
Ce qui signifie que la dérivée de la fonction f définie par f(x) = ax+b+c/(x-1) s'annule en 3.
Calcule f'(x) ...
Écris que f'(3) = 0 ...

Rappel : Par définition f'(a) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse A.
Une tangente horizontale à un coefficient directeur égal à 0.

[titine]

3ème condition :
la courbe d'équation y=ax+b+c/(x-1) admet au point d'abscisse 2 une tangente parallèle à la droite d'équation y=3x+2. C'est à dire une tangente de coefficient directeur 3.
Donc f'(2) = 3.
Ce qui donne ....

[droopy5782]

Pour la 1ère condition: y=3a+b+c/(3-1)
.................................=3a+b+c/2
C'est juste ??

Ensuite la 2nde: je trouve f'(x)=a+((x-1)-c)/(x-1)²

Et je ne comprend pas la 3ème...

[titine]

Pour la 1ère condition: 2=3a+b+c/(3-1) (car A(3;2))
.................................2=3a+b+c/2

Ou, pour ne pas s'embêter avec des fractions :
6a + 2b + c = 4 (j'ai tout multiplié par 2)
Voila notre première condition traduite par une équation !

[titine]

Ensuite la 2nde: je trouve f'(x)=a+((x-1)-c)/(x-1)²

Ta dérivée est fausse ! Comment as tu trouvé cela ?

La dérivée de c/(x-1) est -c/(x-1)²

Donc f'(x) = ...

[droopy5782]

Ah oui pour la première condition j'oublie de remplacer le y ...
pour la 2nde en fait j'avais fais u/v et pas 1/u
donc f(x)= x-c/(x-1)² !!!

[titine]

Ah oui pour la première condition j'oublie de remplacer le y ...
pour la 2nde en fait j'avais fais u/v et pas 1/u

Oui, mais même avec u/v tu aurais du trouver -c/(x-1)² ! Tu as dû faire une erreur de calcul ...

donc f'(x)= a-c/(x-1)² !!!

Bon, alors maintenant, écris que f'(3) = 0 (2ème condition) ...
Puis que f'(2) = 3 (3ème condition) ...

[droopy5782]

Oui en effet j'ai du me tromper --'
Et maintenant qu'on a ça on fait comment :hein:
c=3; b=0 et a=4 ??

[titine]

c=3; b=0 et a=4 ??

Pourquoi ??????
Comment as trouvé cela ?

[titine]

Oui en effet j'ai du me tromper --'
Et maintenant qu'on a ça on fait comment :hein:

Je t'ai dit d'écrire que :
f'(3) = 0 et f'(2) = 3
Fais le !!
As tu compris pourquoi f'(3) = 0 et f'(2) = 3 ?
Lis bien tout ce que j'ai écrit dans les messages précédents.

[droopy5782]

Je comprend rien aux tangentes mais f'(3)=0 c'est parce que la droite est parallèle à l'axe des abscisse !!! et f'(2)=3 c'est son coeff directeur. Mais en quoi ça répond à la question ?? Je veux dire à partir de ça comment on trouve a,b et c ??

[titine]

On a 3 inconnues a, b et c, ils nous faut donc 3 équations (ça s'appelle un système).
Équation 1 : 6a + 2b + c = 4 (trouvée grâce à la 1er condition)
Équation 2 : ....................... (trouvée grâce à la 2ème condition, c'est à dire grâce à f'(3)=0)
Équation 2 : ....................... (trouvée grâce à la 3ème condition, c'est à dire grâce à f'(2)=3)

[titine]

Je repose ma question, comment avais tu trouvé

c=3; b=0 et a=4

??

Qu'est ce que tu ne comprends pas sur les tangentes ?
Si une fonction f est est dérivable en a, sa courbe admet au point d'abscisse a une tangente qui a pour coefficient directeur f'(a).
Une tangente à la courbe au point d'abscisse a est une droite qui est telle que, en ce point, la courbe et la droite sont pratiquement confondues. (Si on fait un "zoom" sur ce point on ne distingue quasiment pas la courbe et sa tangente)

[titine]

Bon alors ? Tu les écrits ces 2 équations ?

f'(x) = a-c/(x-1)²
f'(3) = 0 donne : a - c/(3-1)² = 0 ....................
f'(2) = 3 donne ................................

[droopy5782]

f'(3)=a-c/4=0
f'(2)=a-c=3

[titine]

f'(3)=a-c/4=0
f'(2)=a-c=3

Ok.
On a donc un système de 3 équations à 3 inconnues :
6a + 2b + c = 4
a - c/4 = 0 qu'on peu aussi écrire : 4a - c = 0
a - c = 3

Avec les 2 dernières équations tu devrais trouver facilement a et c ...
Puis en remplaçant dans la 1ère tu auras b ...

[titine]

Bon alors ? On se le termine cet exo ?
Que trouves tu pour a, b et c ?
Conseil : Fais tracer la courbe obtenue par ta calculatrice ou un logiciel (Géogebra) et vérifie qu'elle répond bien au problème.

[droopy5782]

Je pourrais avoir juste une piste ?? Parce que la je sèche