Exercice noté sur les suites niveau TS

[MiniCoeur]

On considère la suite (Un) définie sur IN par : Uo = 1/8 et Un+1 = Un(2-Un) pour tout entier naturel n.
1) Calculer U2.
2) Soit f la fonction définie sur [0;2] par f(x) = x(2-x).
a. Dresser le tableau des variations de f sur [0;2].
b. Justifier que pour tout x appartenant à [0;1], f(x) appartient à [0;1].
3) Dans un repère orthonormé (unité : 8cm), tracer sur [0;2], la courbe (P) représentative de la fonction f. Représenter sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite (Un).
4) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un est compris entre 0 et 1.
5) On considère la suite (Vn) définie sur IN par Vn = 1-Un.
a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
b. Conjecturer l'expression de Vn en fonction de n et de Vo.



PS : Les questions 1) et 3) ont été réussite.. Mais réellement besoin d'aide pour le reste :/

[Jota Be]

On considère la suite (Un) définie sur IN par : Uo = 1/8 et Un+1 = Un(2-Un) pour tout entier naturel n.
1) Calculer U2.
2) Soit f la fonction définie sur [0;2] par f(x) = x(2-x).
a. Dresser le tableau des variations de f sur [0;2].
b. Justifier que pour tout x appartenant à [0;1], f(x) appartient à [0;1].
3) Dans un repère orthonormé (unité : 8cm), tracer sur [0;2], la courbe (P) représentative de la fonction f. Représenter sur l'axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite (Un).
4) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, Un est compris entre 0 et 1.
5) On considère la suite (Vn) définie sur IN par Vn = 1-Un.
a. Exprimer Vn+1 en fonction de Vn.
b. Conjecturer l'expression de Vn en fonction de n et de Vo.



PS : Les questions 1) et 3) ont été réussite.. Mais réellement besoin d'aide pour le reste :/

Bonjour,
avez-vous réussi la 2 ?

[MiniCoeur]

Nan .. Pourriez - vous m'aider ?

[Jota Be]

Bon, en fait, je vais te tutoyer.
Tu pourrais développer f(x) mais ça ne sert à rien. Quand est-ce qu'un produit s'annule ? Tu sais avec un petit coup d'oeil que f(x) est un polynome de degré 2, donc de tête, tu devrais pouvoir conjecturer son sens de variation avec beaucoup de précision (parce que les abscisses où la fonction s'annule te sont données)

[MiniCoeur]

Tous cela je le sais. Je sais également que ma fonction a un maximum en 1 ; elle est croissante en [0;1] et décroissante en [1;2]. Seulement je suis incapable de prouver que 1 est un maximum.

[Jota Be]

Il suffit de dire que 1 est le milieu de [0; 2] qui est l'intervalle durant lequel la fonction change de signe. On peut dire ça puisque c'est une fonction de degré 2

[MiniCoeur]

Merci beaucoup ! Cependant la partie b je n'ai aucune idée d'où commencer.

[Jota Be]

Bon, tu connais le théorème de la bijection ? Calcule f(0), f(1) et dis que f est strictement croissante et continue dans cet intervalle.

[MiniCoeur]

Je ne connais pas le théorème de la bijection. Je dois simplement calculer f(0) et f(1) ?

[Jota Be]

Le théorème de la bijection dit que si une fonction est strictement monotone (soit strict° croissante ou strict° décroissante) et continue dans un intervalle, alors chacun des éléments de son ensemble image admet un unique élément de son ensemble antécédent dans cet intervalle.
Tu remarques que f(0)=0 et f(1)=1 donc tu n'as qu'à montrer que f est strictement croissante sur [0;1] et qu'elle y est continue, ce que tu peux montrer grâce aux questions précédentes.

[MiniCoeur]

Merci beaucoup. Pouvez - vous m'aider pour la question 4) ?

[Jota Be]

Merci beaucoup. Pouvez - vous m'aider pour la question 4) ?

Y as-tu vraiment réfléchi ? Ecris-moi tes réponses.

Sinon, il y a trois choses à montrer, que (Un) est positive pour tout n (ceci en commençant par dire que U0 justifie cette propriété), que (Un) est croissante (ce que tu peux faire par récurrence ou en étudiant le signe de U_(n+1)-U_n) et puis montrer que pour tout n, (Un)<1, ce que tu fais bien entendu par récurrence.

[MiniCoeur]

Et bien je dirais que :
Initialisation au rang 0
Uo = 1/8 et Un+1 = Un(2-Un)
Proposition : Un est compris entre 0 et 1 pour tout entier naturel n.
Hérédité : Supposons que Un 0 < Un < 1
démontrons alors que 0 < Un+1 < 1
On sait que Un+1 = un(2-Un)


mais après je ne vois pas quoi faire. J'ai suivi la démarche utilisée en cours mais je n'arrive pas à l'appliquer .

[MiniCoeur]

Je n'arrive pas à faire ce qu'il est appelé la récurrence. C'est ca enfait mon problème dans cette question ..