Automorphimes de C comme R-espace vectoriel

[smartynina]

Bonjour,

Je voudrais montrer que les seuls automorphismes de C vu comme R-espace vectoriel, sont l'identité et la conjugaison. J'essaye pour se faire de trouver l'image de i mais sans succès.
Il y a-t-il une autre méthode, ou une astuce que je n'ai pas vue ?

Merci :lol3:

[windows7]

f :IR*IR -> IR*IR
(x,y)->(2x,2y)

c'est bien un automorphisme pourtant c'est ni Id ni Conjug

[smartynina]

J'ai oublié une hypothèse :hein: : l'automorphisme en question laisse fixe R.

[Doraki]

(x,y) -> (x+y,y) est un endomorphisme qui laisse fixe R mais qui n'est ni l'identité ni la conjugaison.

[smartynina]

Si f : (x,y)->(x,y+x)

alors l'élément i noté ici (0,1) est envoyé sur (0,1).

or f((a+b))=f(a(1,0)+b(1,0))=a*f((1,0))+b*f((0,1))=a*(1,0)+b*(0,1)=(a,b) f est alors l'identité ?? :mur:

[Doraki]

désolé j'me suis trompé dans mon endomorphisme, il ne laissait pas R fixe.
je pensais à (x,y) -> (x+y,y).

[bentaarito]

Si f : (x,y)->(x,y+x)

alors l'élément i noté ici (0,1) est envoyé sur (0,1).

or f((a+b))=f(a(1,0)+b(1,0))=a*f((1,0))+b*f((0,1))=a*(1,0)+b*(0,1)=(a,b) f est alors l'identité ?? :mur:

Comment ça f(a(1,0)+b(1,0))=a*f((1,0))+b*f((0,1)) ?? :hum:

[smartynina]

Oups je dois mal comprendre la construction de f alors. Pour moi :

f((a,b)+(c,d))=f((a,b))+f((c,d)) car f est linéaire et de même
f(g*(a,b))=g*f((a,b)) où g est un élément de R.


Du coup je ne vois pas du tout que : (x,y) -> (x+y,y) laisse fixe R.

[Doraki]

Bah quand on identifie C à R*R, comme l'a fait windows7,
le "R" qui doit rester fixe, c'est R*{0} (la première composante).

Quand on prend f(x,y) = (x+y,y),
Pour tout x dans R, f(x,0) = (x,0), donc R*{0} est fixe par f.
Et f est un endomorphisme de R² différent de Id et de la conjugaison.

[smartynina]

Autant pour moi, j'ai vu le problème à l'envers.

Du coup qu'est-ce qui est faux dans le raisonnement :

"f((a,b)+(c,d))=f((a,b))+f((c,d)) car f est linéaire et de même
f(g*(a,b))=g*f((a,b)) où g est un élément de R." ?

[Doraki]

Bah rien...

[smartynina]

Bah dans ce cas on a : f((a+b))=f(a*(1,0)+b*(1,0))=a*f((1,0))+b*f((0,1))=a* (1,0)+b*(0,1)=(a,b) f est alors l'identité ??

[Doraki]

non parceque f(0,1) = (1,1)

[smartynina]

Arf oui désolée, j'ai repris le calcul de tout à l'heure.

Bon...je suis perdue, soit j'ai oublié une hypothèse soit l'énoncé de mon exercice est faux.

Voilà ce qu'on peut trouver sur wikipédia :

Bien que le seul automorphisme de corps de R soit l'identité et que les seuls automorphismes de corps continus de C soient l'identité et la conjugaison, l'usage de l'axiome du choix (à deux reprises) permet de construire d'autres automorphismes de corps de C qui ne sont pas continus.

Ça dit bien que les seuls automorphismes de C sont la conjugaison et l'identité.

[Doraki]

Un automorphisme de corps c'est pas pareil qu'un automorphisme d'espaces vectoriels.

[smartynina]

Humm d'accord,
Qu'est ce qu'un automorphisme de corps dans ce cas ? Et comment montrer que les seuls automorphismes de corps qui laissent fixes R sont l'identité et la conjugaison ?

[Doraki]

Un morphisme de corps c'est une application f entre deux corps telle que
f(0)=0
f(1)=1
f(x+y)=f(x)+f(y)
f(x*y)=f(x)*f(y)

[smartynina]

Ahhhhhhh !!!!!!!!!!!
Un grand merci !!! En cherchant l'image de i et i^2, et avec

f(x*y)=f(x)*f(y)

je trouve ce que je veux !!!!!!

:++: