Nombres complexes:

[slavik]

Bonjour,
J'ai un problème lors de la résolution d'un exercice.
En voila l'énoncé:
Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (O;u,v) d'unité graphique 8 cm.
On appelle A le point d'affixe -1 et B d'affixe 1.
Soit (E) l'ensemble des points du plan distincts de A,B et O.
A tout point M d'affixe z appartenant à l'ensemble (E), on associe le point N d'affixe z² et le point P d'affixe z^3.

1° Prouver que les points M, N et P sont deux à deux distincts. POur cela en remplacant leur afiixe par la valeur littérale, on dit que leurs parties imaginaires et réelles ne sont pas égales. DOnc ces points sont distincts.

2° On se propose de détérminer l'enemble (C) des points M appartenant à (E) tels que le triangle MNP soit rectangle en P.
a) En utilisant Pythagore, démontrer que le triangle MNP est rectangle en P ssi, |z+1|²+|z|²=1
et la je bloque, même en ayant définit d'apres la réciproque de Pythagore que:
MN²=NP²+MP²
Aidez-moi s'il vous plait.

[Nightmare]

Salut,

1. Je ne comprends pas trop la justification. Ici, il faut dire que si z=z² ou z=z^3 ou z²=z^3 alors soit z=1, soit z=0, soit z=-1. Mais comme les points d'affixes 1, 0 et -1 (c'est à dire A, B et O) ne sont pas dans (E), on est jamais dans ces cas là et donc z, z² et z^3 sont toujours deux à deux distincts.

2. Que vaut MN², NP² et MP² en fonction de z, z² et z^3 ?

[slavik]

Salut,

1. Je ne comprends pas trop la justification. Ici, il faut dire que si z=z² ou z=z^3 ou z²=z^3 alors soit z=1, soit z=0, soit z=-1. Mais comme les points d'affixes 1, 0 et -1 (c'est à dire A, B et O) ne sont pas dans (E), on est jamais dans ces cas là et donc z, z² et z^3 sont toujours deux à deux distincts.

2. Que vaut MN², NP² et MP² en fonction de z, z² et z^3 ?

MN²=|z-z²|²
NP²=|z²-z^3|²
MP²=|z^3-z|²

[slavik]

Et apres? =(

[Sa Majesté]

Après tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore

[slavik]

Après tu utilises la réciproque du théorème de Pythagore

Oui j'ai compris mais comment j'en arrive à
|z+1|²+|z|²=1
?

[Sa Majesté]

Écris déjà ce que ça donne
Tu simplifieras après

[slavik]

Écris déjà ce que ça donne
Tu simplifieras après

|z-z²|²=|z^3-z|²+|z²-z^3|²

Voila, je sais pas comment simplifier...

[Anonyme]

|zz'|=|z||z'|

Essaye d'utiliser cela pour simplifier ton expression.

[slavik]

|zz'|=|z||z'|

Essaye d'utiliser cela pour simplifier ton expression.

Je vois de multiplication nulle part.

[Sa Majesté]

Il faut les débusquer !
z-z² = z(1-z)

[Anonyme]

Je vois de multiplication nulle part.

Il faut la créer en factorisant ...

[slavik]

J'arrive au final à
|z|²*|z²-1|²+|z²|²*|1-z²|²=|z|²*|1-z|
Et après?

[Anonyme]

Tu peux simplifier par |z|^2 car non nul.

[Sa Majesté]

J'arrive au final à
|z|²*|z²-1|²+|z²|²*|1-z²|²=|z|²*|1-z|
Et après?

Avant de penser à l'après, il faudrait déjà que ça soit correct

[slavik]

Avant de penser à l'après, il faudrait déjà que ça soit correct

Bon c'est aps grave j'arrive pas =(

[Anonyme]

Tu devrait obtenir:


essaye de voir ou est ton erreur.

[slavik]

Tu devrait obtenir:


essaye de voir ou est ton erreur.

L'érreur est lors de la factorisation de:
|z²-z^3|²

moi j'ai mis que c'est égal à |z|²*|1-z|²
au lieu de |z|²*|z-z²|²
Pourtant les deux écritures m'ont l'air juste

COmment on fait ensuite?

[slavik]

On siplifie par |z|²

On obtient
|1-z|²=|z²-1|²*|z-z²|²

[Nightmare]

Eh bien tu sais que :

z est non nul, ce qui permet de simplifier par ...
z n'est pas égal à 1, ce qui permet de simplifier par...