Une suite récurrente.

[Rebelle_]

Bonjour bonjour =)

J'ai une petite question sur un exercice :/ Je pense avoir la solution mais je ne suis pas très sûre.

Soit (u_n) la suite de N dans R définie telle que :

{ u_0 = 0
{ u_{n+1} = 3V(u_n) + 4

où V(u_n) représente la racine carrée de u_n.

J'ai montré que la suite (u_n) était croissante, qu'elle était bornée par 4 et 16, et donc qu'elle était convergente (puisqu'une suite croissante et majorée est convergente).

Une question me fait poser q = 3/4 et me demande de montrer que u_n - 16 < 16*(3/4)^n (où < n'est pas stricte).

Je regarde cette inégalité et je me dis qu'elle signifie que la suite (u_n), diminuée de 16 (j'ai conjecturé graphiquement que 16 était la limite de (u_n)) est inférieure ou égale à une suite (w_n) de N dans R définie telle que :

{ w_0 = 16
{w_n = 16*(3/4)^n,

c'est-à-dire que (w_n) est une suite géométrique de raison 3/4 et de premier terme 16.
Donc, je dois montrer que w_n > u_n - 16 (non strictement).

Là je me demande que faire. J'ai écrit que :
w_n > u_n - 16
<=> w_n + 16 > u_n
<=> w_{n+1} + 16 > u_{n+1}
<=> (3/4)*w_n + 16 > 3V(u_n) + 4
...
Mais je ne vois pas où je vais.

Auriez-vous des idées pour moi ? :)

Merci pour tout ! =)

[Sa Majesté]

Salut

Tu peux écrire

Puis il faut faire apparaître en faisant une petite manip

Je te laisse chercher

PS : à mon avis c'est plutôt

[Rebelle_]

PS : à mon avis c'est plutôt

J'ai oublié de préciser que, justement, sur le livre il y avait des valeurs absolues. Je ne sais pas les faire au clavier, et puis j'ai oublié de le préciser dans mon message, désolée :/

Je suis en train de chercher avec ton indication !

[Rebelle_]

Je t'avoue honteusement que je suis bloquée... :$
Cette racine carré m'embête.

Le but est de trouver une relation entre | u_{n+1} - 16 | et | u_n - 16 | ? Une simple relation d'ordre ne suffirait-elle pas ? Enfin ça n'aiderait pas beaucoup à résoudre le problème c'est vrai :/

[Sa Majesté]

Pense à la fameuse quantité conjuguée ...

[Rebelle_]

Ah ! Suis-je blonde ?! Euh, bête ^^'

Au final je trouve | u_{n+1} - 16 | = | u_n - 16 | * [ 3/(V(u_n) + 4) ] et je ne vois pas en quoi ça m'aide tant que ça... :/

Je dois être bien endormie aujourd'hui !

[Sa Majesté]

Tu n'as plus qu'à majorer

[Olympus]

Salut !

Cela marche par récurrence, t'as essayé ?

[Rebelle_]

Re =)

Non, je n'ai pas essayé par récurrence mais je t'avoue que je n'ai pas le courage de le faire ce soir... :/
Je le fais demain matin et je vous tiens au courant !

Merci encore et bon début de soirée =P ^^'

[Olympus]

Salut,

Oki, sinon les valeurs absolues tu peux les enlever car .

[Rebelle_]

Coucou !

Voilà, j'ai fait ce que vous m'avez conseillé mais je pense que je me suis plantée. Je vous montre.

NB : les inégalités ne sont pas strictes.

Soit P(n) la propriété qui, pour tout n dans N, est définie telle que P(n) : u_n - 16 < 16*(3/4)^.

- initialisation : P(n_0) : -16 < 0 donc P(n_0) vraie.

- hérédité : on pose un p fixé dans N tel que P(p) soit vraie. Montrons alors que P(p) => P(p+1), soit que u_{p+1} - 16 < 16*(3/4)^{p+1}.

On sait par hypothèse que u_p - 16 < 16*(3/4)^p (1), et :

(1) <=> u_p < 16 + 16*(3/4)^p
<=> u_p < 16*[ (3/4)^p + 1 ]
<=> V(u_p) < 4*[ (3/4)^p + 1 ]
<=> 3*V(u_p) < 12*[ (3/4)^p + 1 ]
<=> 3*V(u_p) + 4 < 12*(3/4)^p + 16
<=> u_{p+1} - 16 < 12*(3/4)^p
<=> Euuh...

Problème :/

[Arnaud-29-31]

Coucou Rebelle,

Ici la récurrence ce n'est pas une bonne idée,

Tu as



en multipliant par la quatité conjugué.

Donc au final tu as
Ce que tu avais déjà obtenu ...

Or comme , on a

D'où
Ce qui permet de conclure.

[Olympus]

Salut !

Mais n'est-ce pas justement une récurrence que tu as fait là Arnaud ?

[Arnaud-29-31]

Ah bein non ... ou est-ce que tu vois une récurrence ?

[Olympus]

Si on suppose que ( l'hérédité justement ), alors ta dernière ligne permet de montrer que .

Donc je ne vois pas en quoi la récurrence serait une mauvaise idée .

[Arnaud-29-31]

Je vois ^^

Alors si je suis ta logique, quand tu as , tu passes par une récurrence avant d'écrire que

De ma dernière ligne on peut effectivement introduire une mini récurrence avant de conclure mais c'est quand même rajouter des lignes alors que la question est finie.

[Olympus]

Peut-être que quelque chose m'a échappé ( je viens juste de me lever ), mais si tu parles de ce raisonnement :



Alors cela ressemble aussi à une récurrence ^^

[Arnaud-29-31]

Je te parle de la rédaction.
Quand tu as une suite géométrique du style , tu écris directement ... et bien la c'est pareil, une fois qu'on a , on peut directement écrire sans se compliquer avec des lignes en plus.

[Sa Majesté]

On peut passer par une récurrence mais ce n'est pas obligatoire
On écrit les lignes pour tous les indices de (n+1) à 1



On les multiplie et on simplifie par les termes identiques pour obtenir

[Olympus]

C'est exactement le principe de la récurrence mais bon comme vous voulez ^^

Sinon, écrire directement la conclusion juste parce que c'est "trivial", je ne pense pas que ce serait bien vu de la part d'un prof ( pour l'exemple de la suite géométrique, toutes ses propriétés sont démontrés dans le cours, contrairement à ce qu'on a ici ), donc vaut mieux passer par une récurrence, ou un raisonnement comme celui de mon post #17 ou celui de Sa Masjesté ( qui sont pareils ) .