Bonjour , voilà j 'ai un soucis a résoudre cet exercice est ce que vous pouvez m'aider s'ils vous plait ?
Voici le sujet:
f est la fonction définie sur R par :
f(x)=x/(x²+x+1)
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormé d'unité 10 cm.
1. Etudier les variations de f et tracer la courbe représentative de f sur [0;1].
2. u est la suite définie par u0=1 et pour tout nombre entier naturel n, un+1=f(un). Construire u0,u1,u2 et u3 sur l'axe des abscisses. Que peut-on conjecturer sur le sens de variation et la limite éventuelle de la suite u ?
3.a) Démontrer que, pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤1/(n+1)
b) En déduire par récurrence que pour tout nombre entier naturel n non nul, 0≤un≤1/n
4. Démontrer les conjectures émises au 2.
Guide de résolution :
1. Montrer que f'(x) a le même signe que 1-x²
3.a) Montrer que f(1/n)=1/(n+1+(1/n))
b) Utiliser la croissance de f sur [0 ;1]
4. Vérifier que u est bornée entre 0 et 1 et étudier sons sens de variation. Penser ensuite au théorème des gendarmes.
Merci bien