[TS] Suite récurrente <=> Suite généralisé
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
-
Prower91
- Messages: 1
- Enregistré le: 29 Sep 2007, 20:34
-
par Prower91 » 29 Sep 2007, 20:45
Bonjour,
Ca fait 4h, montre en main, que je bloque sur mon DM.
Bref,
U0 = 0
Un+1 = (2Un + 3) / (Un + 4)
Il faut prouver que (Un) est majorée par 1 et il faut étudier le sens de variation de la suite.
Pour l'histoire de majoration, il faut comparer (2Un + 3) / (Un + 4) à 1, je pense.
Mais ça fait (Un-1)/(Un+4).
Un+4 semble être positif, mais Un-1 semble l'être à un certain point.
Bref, soit mon calcul est faux, soit j'ai pas compris un truc. Pour le sens de variation, il faut calculer Un+1 - Un d'après le cours. Je ne développe pas mes calculs mais je trouve (Un - 3)(Un - 1)/(Un² + 4 Un), ce qui semble être peu possible car la suite n'est pas strictement monotone : elle l'est pourtant sur la calculette ...
Enfin, quelqu'un sait-il transformer une suite récurrente (U0 = 0
Un+1 = (2Un + 3) / (Un + 4)) en suite généralisé, de style Un en fonction de n ? Ca me serait pratique mais je sais pas si c'est toujours possible ...
Merci d'avance pour vos réponses, même partiels :)
-
annick
- Habitué(e)
- Messages: 6282
- Enregistré le: 16 Sep 2006, 10:52
-
par annick » 29 Sep 2007, 21:01
Bonsoir,
Pour la majoration par 1 de ta suite, j'aurai bien vu un raisonnement par récurrence : tu poses que un<1, tu vérifies que c'est vrai pour u0 et tu vois ce que ça donne pour u(n+1) par des jeux d'inégalités, si tu prouve que c'est vrai pour u(n+1), alors c'est vrai pour tout un
-
lapras
- Membre Transcendant
- Messages: 3664
- Enregistré le: 01 Jan 2007, 13:00
-
par lapras » 29 Sep 2007, 23:11
salut
démontre par récurrence que Un<=1
c'est pas dur :
Vérifie que pour n=0, n=1 ..., alors un<=1
démontre le pour Un+1 ;)
Une fois ceci démontré
Etudie le signe de Un+1 - Un
Un+1 = (2Un + 3) / (Un + 4) = (2Un+8-5)/(Un+4) = 2-5/(Un+4)
comme
4<=Un+4<=5
(tu peux démontrer par récurrence que Un >= 0)
alors
1/4>=1/(un+4)>=1/5
-5/4<=-5/(Un+4)<=-1
donc
3/4<=2-5/(Un+4)<=1
donc
Un+1-Un>=0
CQFD la suite croissante majorée par 1
Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 66 invités