Comportement d'une suite récurrente TS

[Magalie0011]

Bonjour,

J'ai une épreuve pratique de math. En classe, nous avons fait la partie pratique, et maintenant on doit faire la démonstration.

Voici l'énoncé :

Soit U1 un nombre réel fixé. On considere la suite récurrente U de premier terme U1 et tele que pour tout entier naturel non nul n , Un+1 = (Un / n) +1

Dans cette queston on suppose que U1 = -100

a. démontrer qu'à partir d'un certain rang n0 , à préciser, la suite u est décoissante.

b. démontrer que la suite u est convergente et préciser sa limite.

Donc, grâce à un tableur, nous avons constaté que u est décroissante à partir du rang 8 et qu'elle converge en 1.

Pour la question a. , j'ai commencé à faire la récurrence.
L'initialisation est faite mais pour l'hérédité, ça coince.

J'ai fais :

Supposons que pour un n supérieur à 8, Un+1 < Un . Montrons que Un+2 < Un+1 .
Mais je m'arrête là.

Est ce que je suis dans la bonne direction ?

Je vous remercie de vos réponses.

[Luc]

Bonjour,

Pour la question a. , j'ai commencé à faire la récurrence.
L'initialisation est faite mais pour l'hérédité, ça coince.

J'ai fais :

Supposons que pour un n supérieur à 8, Un+1 < Un . Montrons que Un+2 < Un+1 .
Mais je m'arrête là.

Est ce que je suis dans la bonne direction ?

Je vous remercie de vos réponses.

Salut,

Effectivement tu es dans la bonne direction!
Pour montrer que , pars de et essaye de montrer que c'est strictement négatif.

Pour montrer la convergence une fois que l'on sait que la suite est décroissante, connais-tu un théorème s'appliquant aux suites décroissantes? Quelle hypothèse faut-il vérifier en plus?

Une fois que tu as montré la convergence, pour trouver la limite: Si u_n tend vers 1, quel est la limite de u_n/n ?. donc quelle est la limite de ?