Espace vectoriel.

[juliette92]

Bonjour,

On note ;) l’ensemble des entiers naturels et ;) le corps des réels.
Dans ce problème, E désigne le ;) -espace vectoriel des fonctions définies et continues sur [0,+infini[ à valeurs dans ;) , et F le sous-espace vectoriel de E formé des fonctions polynômes.

1°) Soient a un réel positif ou nul et (Un ) la suite réelle définie par :
U0=a , pour tout n appt à N Un+1 = (Un) ^ (1/3)
Montrer que la suite u est convergente et préciser sa limite suivant les valeurs du réel a .
2°) Soit G la partie de E formée des fonctions f qui vérifient la relation :
pour tout x positif , f (x^3) = f (x) .
Montrer que G est un sous-espace vectoriel de E . Quels sont ses éléments ?
3°) soit f une fonction quelconque de E, et g la fonction définie par :
pour tout x strictement positif , g(x)= 1/x intégrale(de x à x^3) f(t)dt
Montrer que g est prolongeable par continuité en 0. On notera également g ce prolongement défini sur [0, +infini [
Préciser la valeur de g(0) en fonction de la fonction f .
4°) Soit h l’application qui à toute fonction f de E associe la fonction g de E définie au 3°) .
(a) Montrer que h est un endomorphisme de E .
(b) Soit j la restriction de h au sous-espace vectoriel F de E .
Montrer que j est un endomorphisme de F .
L’application j est-elle injective ? surjective ?
(c) L’application h est-elle injective ? surjective ?
5°) (a) Montrer que pour toute fonction f de E, la fonction g = h ( f ) est dérivable sur ]0,+infini[ et donner une expression de la dérivée g ' .
(b) On suppose que la fonction f est de classe C1 sur [0,+infini[ . La fonction g est-elle dérivable à droite en 0 ? Dans l’affirmative, donner la valeur de g'(0) .
(c) On suppose que la fonction f est de classe Cinfini sur [0,+inifini[ . La fonction g est-elle de classe Cinfini sur [0,+infini[ ?

Pourrais-je avoir de bonnes indications pour résoudre cet exo.. :$ ?

[Nightmare]

Salut,

j'espère quand même que tu as su répondre à quelques questions ?!

[juliette92]

question 1) j'ai montré que la suite est minorée par 0 , il faudrait montrer qu'elle est décroissante..