Isomorphismes de groupes

[Anonyme]

Bonjour, j'aurai bien besoin d'aide sur cet exo, merci

Soient G,H,J des groupes tels qu'il existe un isomorphisme f de G dans HxJ
Je dois montrer que
"g qui appartient à G est un générateur de g " équivaut à "f(g) = (h,j) avec h un générateur de H et j un générateur de J"

[El_Gato]

Salut,

f est un isomorphisme de G dans H x J. H x J est muni de la structure canonique de groupe produit: . Un isomorsphisme transporte les générateurs. Et un générateur du groupe produit a la forme indiquée.

[Anonyme]

oui mais faut que je demontre qu'un ismorphisme transporte les générateurs, je suis pas censée le savoir, t'aurais pas une demonstration de ça?

[El_Gato]

.

[yos]

Si g engendre G, alors f(g) engendre HXJ (est-ce clair?)
Posons f(g)=(h,j). Les puissances de f(g) vont donc décrire HXJ. C'est-à-dire que les vont décrire HXJ. Et donc les décrivent H et les décrivent J.