Groupes et isomorphismes

[Aispor]

Bonsoir,
Je ne vois pas comment résoudre la question 2 de cet exercice :



La seule chose que je sais c'est :
- la définition d'un groupe
- la définition de deux groupes isomorphes, à savoir il existe une bijection entre les 2 groupes

Voilà ! Merci

[aviateur]

- la définition de deux groupes isomorphes, à savoir il existe une bijection entre les 2 groupes

Bonjour
vu cela, pour t'aider efficacement, il faut que
1- tu nous donnes la réponse de la question 1 et
2- que tu donnes une bonne définition de[color=#0000FF] groupes isomorphes[/color

[Aispor]

Salut aviateur.

Alors pour la question 1 j'ai trouvé que G est bien abelien (commutatif) pour tout x et y appartenant à G on a x•y=y•x

Pour le définition désolé enfaite je pensais qu'il suffisait d'un endomorphisme bijectif entre les deux ensembles mais non, après qqs recherches sur le forum je trouve la définition suivante :

Deux groupes sont dit isomorphes lorsqu'il existe un morphisme de groupes entre les deux qui est bijectif.

Mais je ne vois toujours pas comment en construire un

[aviateur]

Bonjour
Comme G est commutatif et fini alors soit un système générateur minimal de G.
C'est à dire que alpha _k

Alors en considérant la division euclidienne des par 2 tu peux montrer que ,

Alors l'application à considérer est :

[Pseuda]

Bonjour,

Et si on ne sait pas ce qu'est un système générateur minimal ?

On a : card \ . Donc j'essaierais de montrer que card . L'élément neutre de s'apparie évidemment avec .

Puisque est un sous-groupe de , on a .

Si , c'est démontré (). Si on rajoute un élément à , le groupe généré par et : est de cardinal . Donc peut-être une récurrence peut marcher. Il faut encore apparier les éléments.

[aviateur]

@pseuda
1. D'une part un système générateur minimal, c'est on ne peut plus simple à savoir ce que c'est et puis c'est le b a b a des groupes de cardinal fini.
2. Ensuite le posteur demande quelle peut être l'application et je lui donne.
3. Alors explique un peu comment tu fais ta récurrence.

[LB2]

On peut éviter les propos déplacés svp...

@Aispor tu peux par exemple consulter le Gourdon "Les maths en tête" d'algèbre où ton exercice est corrigé.

Pour 2) Si tu connais l'algèbre linéaire, on peut invoquer le fait que G est un Z/2Z - espace vectoriel, et que sa dimension en tant qu'e.v. est finie, on la note n, et qu'alors G est isomorphe en tant que groupe à (Z/2Z)^n
On peut également, il me semble, procéder comme Pseuda et construire par récurrence une suite croissante de sous-groupes de G de cardinaux respectifs 1,2,4,..,2^k. Tant que le dernier sous-groupe ainsi construit, , est strict, on peut lui rajouter un élémentet considérer qui est un sous groupe de G (le démontrer). Par ce procédé, comme G est fini, on arrive forcément au bout d'un moment à "épuisement" des éléments, i.e. la suite de sous groupes ainsi construite est stationnaire en G.
Ensuite, pour conclure à l'isomorphisme, il faut connaitre la notion de groupe quotient, et considérer le sous groupe quotient , bien défini car est distingué dans car c'est commutatif , et isomorphe comme groupe à Z/2Z car d'ordre 2. D'où le résultat par produit.

En espérant n'avoir pas trop dit de bêtises!

[Ben314]

Ensuite, pour conclure à l'isomorphisme, il faut connaitre la notion de groupe quotient,

Le reste, c'est O.K., mais ça, pas du tout : on peut utiliser la notion de quotient pour démontrer le résultat, mais ce n'est pas la seule méthode (et à mon avis, c'est loin d'être la meilleure).
Une fois que tu as ton Hk=G, et donc tes éléments x1,x2,...xk de G, l'isomorphisme, c'est tout bêtement celui donné par aviateur dans son 2em post : le fait que c'est un morphisme est évident (vu l'hypothèse faite sur G), la surjectivité résulte immédiatement du fait que Hk=G et l'injectivité du fait que dans la construction, quand on choisi , ça implique que (quasi immédiat) ce qui implique bien que l'écriture d'un x de G comme produit de xi est unique (et, soit dit en passant, cette unicité de l'écriture, ben tu l'a déjà utilisé sans le dire quand tu as affirmé que tes Hi ont comme cardinal 2^i)

[LB2]

Merci beaucoup Ben pour ces éclaircissements

[Aispor]

Bonjours,
Merci à tous d'avoir répondu,
Finalement j'ai fais ceci :


Je passe demain au tableau donc si vous trouvez une petite erreur n'hésitez pas