Question (qui doit surement être) bête { exo sur les mesures

[Als128]

Bonjour,

J'ai un petit souci pour comprendre un element de solution donné par mon manuel. L'énoncé de la question pose les hypothèses suivantes :

Soit une forme linéaire positive sur continue si on munit de la norme de la convergence uniforme.
Montrer que s'il existe une mesure positive bornée m sur t.q alors necessairement on a :


La solution commence comme ça (après le reste j'ai pas de pbl de comprehension) :
Etant donné un intervalle ouvert, considerons une suite de fonctions positives telles que

Qu'est ce qui justifie l'existence d'une telle suite ? (Ce n'est pas explicitement écrit dans la solution, mais je suppose que tend vers à l'infini...)

[wserdx]

Regarde les contraintes imposées à la fonction sur les différents intervalles qui apparaissent naturellement.
Par exemple peux-tu justifier l'existence d'une fonction continue sur
vérifant et
et
(tu devrais pouvoir facilement en exhiber une!)
Regarde ensuite si tu peux "recoller" les morceaux.
à vue de nez, la suite tend vers (qui n'est pas continue)

[Als128]

Toujours dans le même exercice, la solution écrit une égalité que je ne comprend pas.
On a posé
et et on a montré que F était positive, monotone, croissante, continue à droite et majorée par

On definit m la mesure positive bornée par par le théoreme de prolongement :

On doit montrer que

Ce que je comprends pas c'est que la solution commence son raisonnement par :

Soient , on a :


Qu'est ce qui justifie cette égalité ?

Merci de m'aider !!!

[Als128]

Regarde les contraintes imposées à la fonction sur les différents intervalles qui apparaissent naturellement.
Par exemple peux-tu justifier l'existence d'une fonction continue sur
vérifant et
et
(tu devrais pouvoir facilement en exhiber une!)
Regarde ensuite si tu peux "recoller" les morceaux.
à vue de nez, la suite tend vers (qui n'est pas continue)

Bon il me semble que la fonction affine fonctionne assez bien. En revanche je suis un peu paumé pour la limite... JE vais essayer de revoir ça.

Merci :id:

[Als128]

Bon c'est bon pur la première question... Le reste, je sèche. Si une ame charitable pouvait me filer un coup de main, Merci !!

[Ben314]

Salut,

A mon avis, c'est plutôt et cela vient simplement du fait que m est une mesure bornée et que est la réunion disjointe de et de .

[Als128]

Oui, moi aussi ça me parait logique comme tu l'ecris. Mais sur mon manuel c'est ce que j'ai écris... donc tu confirmes que le manuel a écrit une erreur ? Ca ne sera pas la première fois, ce manuel est truffé de fautes et d'approximations de ce genre. (on dirait un manuel de physique :we: )

[Ben314]

Je pense que cela ne peut qu'être une faute de frappe : au vu des hypothèses, il n'y a aucune raison que soit nul...

[Doraki]

Ce n'est pas la seule erreur.

On definit m la mesure positive bornée par par le théoreme de prolongement :

On doit montrer que

La définition de m et ce qu'il y a à prouver sont insensés.

[Als128]

C'est vrai surtout que la solution conclut :
On a bien démontré que


C'est un peu compliqué de réapprendre les maths avec un bouquin faux...