Question sur les mesures :)

[maxoumaxou]

Soient et des mesures sur l'espace mesurable (E, ) telles que (E) = (E) < +

Comment montrer que L := {A : (A) = (A)}, est une classe monotone.

Merci beaucoup d'avance pour votre aide ^^

[hdci]

Bonsoir,
Il faut montrer qu'elle contient E, qu'elle est stable par différence et stable par réunion croissante.
Pour le premier point, c'est assez évident.
Pour la stabilité par différence, cela résulte du fait que est une mesure donc la mesure de la réunion de deux parties disjointes est la somme des mesures.
Pour la réunion croissante, c'est pareil, en utilisant le mécanisme suivant : si est une suite de parties croissantes (vérifiant , alors on définit la suite par et ; car alors la réunion des est égale à celle des (faire un schéma !) et on applique le résultat sur la différence pour vérifier que chaque est dans L, ce qui donne alors le résultat (on a transformé la mesure de la réunion des par la somme-série des mesures des )

[maxoumaxou]

Merci beaucoup