Devoir sur les limites et les logarithmes

[syana93]

Bonjour, voici mon devoir, je n'y arrive pas du tout..

[Dans la partie A que j'ai faite, g(x) = 1 - (2/x) - lnx]

"Le but de ce problème est la représentation graphique de la fonction f définie dans ]2 ; +infinie[ par f(x) = x - 3 - lnx/(x-2) dans le plan P muni d'un repère orthonormal (O, i, j) d'unité graphique 2 cm."

1) Calculer la limite de f pour la valeur 2. Quelle est la conséquence graphique ?

2) a) Montrer que la limite (quand x tend vers +infinie) de lnx/(x-2) = 0.
En déduire la limite de f en +infinie.

b) Montrer que la droite D d'équation y = x-3 est asymptote à C.
Montrer que C est située au dessous de D.

3) Calculer f'(x), où f' désigne la fonction dérivé de f. Vérifier que f'(x) = 1 - g(x)/(x-2)². En déduire le signe de f'(x) puis le tableau de variation de f.

4) Dans le plan P, construire D, puis en tenant compte des résultats obtenus dans les questions précédentes, construire C.

5) a) On constate graphiquement que l'équation f(x) = 0 admet, dans l'intervalle ]3;4[, une solution unique, a. Justifier rigoureusement ce résultat.

b) Déterminer un encadrement de a d'amplitude 10puissance-2. Justifier.

merci par avance de votre aide.

[Dinozzo13]

Salut ! Tu pourrais déjà commencer par nous dire ce que tu as fait et où tu bloques :++:

[syana93]

Bah je bloque sur tout, j'arrive a rien faire sur tout le devoir.. :triste:

[Dinozzo13]

Dans la partie A que j'ai faite,

On fait donc la partie B :we: .
1°) As-tu déjà définie ?
Ensuite, sais-tu calculer ?

[syana93]

Dans l'énoncé F c'est "x-3 - (lnx)/(x-2)" .. ?

Non je ne sais pas comment on fait pour calculer sa limite en 2 :/

[Dinozzo13]

Oui, je le sais, tu l'as écrit : . Mais quand je parle de définir , c'est trouver le domaine pour lequel quelque soit de , existe.
Pour calculer sa limite lorsque vaut , il te suffit juste que : .

[syana93]

Mais il est déjà dans ]2; +infinie[

On peut pas remplacer par 2, ça donne zéro au dénominateur..

[Dinozzo13]

Mais il est déjà dans

:hum: Je ne suis pas d'accord avec toi, la fonction est définie si et seulement si ... et le dénominateur si , donc .

On peut pas remplacer par 2, ça donne zéro au dénominateur..

Oui ! en effet et donc que se passe-t-il quand le dénominateur d'un quotient devient de plus en plus petit, le quotient devient ... et donc ...
Attention, il faut dissocier deux cas : lorsque tend vers par valeurs négatives et lorsqu'il tend vers par valeurs positives.

[syana93]

Désolée, mais je comprend rien du tout..

[benekire2]

Df= ]0;2[U]2;+oo[ pour commencer

[benekire2]

ensuite tu appliques bêtement les règles sur les limites que tu as dû voir en première ...

[Dinozzo13]

Salut Benekire2 :++:
En effet, est définie si et seulement si , car est définie si , et si , d'où

[syana93]

Depuis l'année dernière j'ai le même prof qui nous explique rien du tout alors moi je comprend rien j'ai aucun cours

[benekire2]

dénominateur non nul + def de ln pour Df et pour les limites cherche "intuitivement"

[Dinozzo13]

Ensuite, pour la limite, calcule celle de car on voit que lorsque tend vers que ça va devenir très grand.
Or au dénominateur, on a une fonction affine qui est strictement positive sur [ et strictement négative sur . Donc si tend vers par valeurs négatives de alors sa limite vaut . Par contre, si tend vers par valeurs positives de alors sa limite vaut .

[syana93]

Dans les 2 cas elle vaut +infinie

[Dinozzo13]

:triste: non.
teste-le toi même pour regarder, si x tend vers 2 par valeurs négatives, ça veut dire qu'on se rapproche de 2 "par la gauche" (1,8 1,9 1,99 1,99999) donc le dénominateur aura une valeur négative qui ne cessera de croître donc la limite en de vaudra . Par contre, pour l'autre cas, c'est effectivement

[benekire2]

Ouch, les opérations de bases sur les limites

Voilà un petit résumé:

http://fr.wikipedia.org/wiki/Op%C3%A9rations_sur_les_limites

[Dinozzo13]

En fait, la limite dépend ici du dénominateur :
où est constant et strictement positif.
Alors que pour , ce n'est pas constant et ça change de signe.
Tu sais qu'au dénominateur tu aura donc mais en étudiant le sign de tu sauras si ou si et donc si la limite est ou

[benekire2]

on appelle aussi cela la détermination par les signes, c'est la règle des signes toute bête qu'on apprend au collège, par exemple tu aurais eu -ln2/0- tu aurais eu quelque chose qui tend vers +inf et pour -ln2/0+ ca aurait fait -inf
vla