Exo sur les logarithmes

[tubis]

Tout d'abord bonjour a tous !
donc voila j'ai un exercice sur les logarithmes a faire pour mardi, il est assez complexe et surtout très long ( 12 questions ), je voudrais de l'aide sur les 3 premieres questions car je n'y comprend pas grand chose, le reste est assez simple pour moi , mais voila je bloque a ces 1ere questions donc j'arrive pas a continuer :

1) Soit g la fonction définie sur ]0 ;+;)[ par g(x)= 1 + x²-2x² ln x
a) etudiez les variations de g sur ]0 ;+;)[ et précisez les limites en 0 et en +;)
b) montrez que l'équation g(x)=0 admet une unique solution x0 sur l'intervalle [1;2], donnez alors un encadrement d'amplitude 1.10^-2 de x0

2)Soit f la fonction définie sur ]0;+;)[ par f(x)= lnx / x+1
On note (C) sa courbe représentative dans un repère orthonormal (O; i ; j ) (2cm)
a) montrez que f '(x) est du meme signe que g(x) sur ]0; +;)[. déduisez -en les variations de f sur ]0;+;)[

le reste je pourrais le résoudre par moi-meme mais il me faudrait quelques pistes pour faire ces premieres questions auxquelles je ne comprend pas grand chose ayant abordé les logarithme NOUVELLEMENT
je vous remercie TOUS d'avance et aidez-moi svp.

[Lycée_Mansart_Saint_Cyr]

Salut,
Je te donnes les pistes car j'ai pas vraiment réfléhis à tes questions.

Pour la question a) tu dérive ta fonction et tu étudie le signe de ta dérivée.

Ensuite, pour le b) je sais pas pour l'équation mais pour l'encadrement tu vas faire la méthode par balayage sur ta calculatrice.

Enfin, pour la question 2)a) je sais pas vraiment.

En gros je t'ai pas beaucoup aidé mais bon je n'y est pas beaucoup réfléchit non plus. Désolé je te recontacte quand j'aurai le temps.

PS : il est possible que je me soit trompé dans mes pistes si c'est le cas rectifiez moi merci.

[dom85]

bonsoir,

g'(x)=2x-(4x lnx+1/x*2x)
=-4x lnx

g'>0 pour 0g'>0
pour x>1
g(1)=2

limite en 0:
lim en 0+ de x² lnx est 0
lim en 0 de x² est 0
lim en 0 de g(x) est 1

lim en + inf de g(x) est -inf

g(1)=2
g(2)=5-5.55=-0,55

g(x) etant continue et decroissante sur [1;2],il y a une solution unique à g(x)=0
cette solution est comprise entre 1 et 2

a plus tard pour la suite

[becirj]

Bonsoir
1.a) Il faut bien sur dériver g en faisant attention que l'on a un produit.

Sur , (-4x)<0 donc g'(x) est dusigne contraire de ln (x)
(là, tu appliques ton cours)
Limites : en 0 c'est une application directe du cours : donc
Pour obtenir la limite en , on met en facteur.
b) Il faut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires ou théorème de la bijection sur l'intervalle considéré.

2. =
Il y a un problème car on ne retrouve pas g(x). Es-tu sur de ton texte ?

[tubis]

Merci beaucoup a vous tous pour votre aide
et pour ta question , oui je suis sur de mon texte, mais j'en ai parlait a un camarade de ma classe et il m'a dit qu'il trouvait une erreur aussi; donc je pense que c'est une erreur du sujet j'en parlerai avec mon prof demain
et encore merci a tous !!!

[tubis]

salut becirj pour la question 1)b) a l'encadrement je trouve 1.8950225455 pour x0 en utilisant le théorème des valeurs intermediaires , tu pourrais me dire comment il faut rédiger cela car j'ai peur d'écrire des conneries

[becirj]

On justifie d'abord l'existence et l'unicité de la solution.
Sur l'intervalle ]0 , 1], g(x)>1 donc l'équation n'a pas de solution sur cet intervalle.
g(2)<0 et g décroissante sur l'intervalle donc pas de solution sur cet intervalle
Sur l'intervalle [1 ,2], g est continue et strictement décroissante , elle établit une bijection de l'intervalle [1 ,2] sur l'intervalle [g(2), g(1)] , 0 appartient à l'intervalle [g(2) , g(1)] donc l'équation g(x)=0 admet une solution et une seule appartenant à l'intervalle [1 , 2].
Je te fais confiance pour la valeur approchée mais la reponse à fournir est un encadrement :

[tubis]

apres confirmation auprès du professeur, le sujet est bel et bien erroné ! c'est qu'en vérité pour f(x) c'est non pas x+1 au dénominateur mais c'est x²+1 ce qui donne pour équation f(x)=lnx / x²+1

et la j'ai donc chercher la dérivée et j'ai trouvé que f '(x)= g(x) / x (x²+1)²
donc je pense qu'à partir de cela il sera plus simple de faire des calculs pour la suite ;) bref,

2) B )
je ne l'avez pas demandé au début mais je voudrais confirmation pour la suite car il faut démontrer juste après que f(x0)=1 / 2x0²
je dis donc que g(x0)=0 <=> 1 + x0² - 2x0² ln x0=0 <=> .......
<=> lnx0 / x0² + 1 = 1 / 2x0²

donc f(x0)= lnx0 / x0² + 1 = 1 / 2x0²
Déduisez-en un encadrement ça je l'ai pas encore fait mais je vais appliquer la méthode que tu m'as donnée
C ) et la il faut démontrer que (C) possedent 2 asymptote
dois-je chercher les limites en 0 et +infini ?

[becirj]

Pour le 2. b) la méthode est correcte.
Pour l'encadrement, à partir de l'encadrement connu de
, on déduit l'encadrement de puis de l'inverse (Attention, l'inégalité change de sens)

3. Il faut effectivement chercher les limites en 0 et
En 0 pas de problème. En tu auras à utiliser une limite vue en cours : ou