Probabilité

[Louise2607]

Bonjour,
j'aimerais savoir comment résoudre ce type d'exercice :

Un programme comporte 10 erreurs. À chaque relecture, chaque erreur restante a une probabilité 1/4 d'être détectée et corrigée, de manière indépendante des autres erreurs. Combien de fois doit-on faire relire ce programme pour que la probabilité d'avoir corrigé les 10 erreurs soit supérieure à 0,99



Je pensais utiliser la fonction quantile mais je n'aboutis pas...
Merci d'avance de vos réponses

[fatal_error]

salut,

sauf boulette, on utilise quantile surtout pour les stats.
Ici ya pas besoin, on veut juste une proba.

P(X>k)=>99%
avec X qui compte le nombre de passages pour supprimer les erreurs.
Tu cherches k.

Essaie pour 1, pis pour 2...

[yos]

Soit l'événement "l'erreur i est corrigée en n relectures".


Ensuite les sont mutuellement indépendants.

[Louise2607]

D'accord... Après calcul je trouve n=1.6 ..??? résultat étrange.(
n= (ln(0.99-1)/ln(3/4))/4

Merci

[yos]

Non c'est

[nuage]

Salut Yos,
je trouve ton estimation bien optimiste. Ton calcul donne un résultat voisin de 24.

Par définition le nombre de relectures nécessaires pour corriger les 10 erreurs suit une loi de Pascal d'ordre 10 avec une probabilité de 1/4.
Son espérance est 10/(1/4)=40.
C'est un résultat évident compte tenu du fait que l'espérance de la v.a. "nombre de relecture pour corriger une erreur donnée" a pour espérance 4.

Pour information si X est le nombre de relecture ncéssaire pour corriger les 10 erreurs (quand elles sont corrigées on s'arrête)
Je ne me sens pas de faire une somme assez longue de termes de ce type, mais je ne vois pas comment y échapper. :briques:

[yos]

Salut.

Salut Yos,
je trouve ton estimation bien optimiste. Ton calcul donne un résultat voisin de 24.

...et je le maintiens.

C'est un résultat évident compte tenu du fait que l'espérance de la v.a. "nombre de relecture pour corriger une erreur donnée" a pour espérance 4.

Une relecture corrige 2,5 erreurs en moyenne.

[alavacommejetepousse]

Pour information si X est le nombre de relecture ncéssaire pour corriger les 10 erreurs (quand elles sont corrigées on s'arrête)
Je ne me sens pas de faire une somme assez longue de termes de ce type, mais je ne vois pas comment y échapper. :briques:

bonjour

je n ai pas compris de quelle somme il s agi(rait)

[Louise2607]

Je comprends assez bien la solution de nuage... mais finalement qu'elle est la bonne solution ( peut_être les deux? ) ?
Merci

[lirabo]

Déjà on peut se ramener à un problème où il n'y a qu'une seule erreur dans l'énoncé en considérant qu'à chaque étape la probabilité de correction est la même pour chaque erreur et que ces variables sont indépendantes.

On veut donc P(tout corrigé) = P (erreur 1 corrigée)* P (erreur 2 corrigée) * ...
= P (erreur i corrigée)^10

donc P(tout corrigé) >0.99
=> P (erreur i corrigée) > 0.99^(1/10) ( ~ 0.999)

Ensuite le nombre de relecture pour une erreur suit une loi géométrique de param q=3/4
Sa fonction de répartition (proba de correction en moins de n étapes) est 1-q^n.
on veut donc le plus petit n tq 1-q^n >= 0.999
q^n <= 0.001
n >= ln(0.001) / ln(3/4)
soit n >= 24.01 donc n = 25 relectures

[lirabo]

En fait, je retrouve bien les résultats de Yos ;-)

[flight]

on doit chercher n tel que

P(X=n)=C10,n.3^(n-10)/4^n>0,99

[fatal_error]

bonjour,

je trouve 25 en prenant 99% de sureté. Au test.
( P(X<=25)=99%) )

J'ai testé la méthode de pascal
f = nchoosek(nbEssais-1,9)*3^(nbEssais-10)/4^nbEssais
avec nbchoosek(nbEssais-1,9)=C_{9}^{nbEssais-1}
Et je trouve que ca vaut au plus 3,8005% pour n = 36
Donc j'ai tendance a dire que c'est faux. Par ailleurs je comprends pas pourquoi chercher le n tel que P(X=n), vu que la fonction que suit X est pas monotone... (jor P(X=n+1)<P(X=n))

Mais j'aimerais bien une explication concernant la loi de pascal, j'arrive pas a faire l'analogie avec la description chez bibmath.
Chez bibmath la description dit :
On lance une pièce de monnaie (truquée) dont la probabilité d'obtenir pile est p. On note X le nombre de lancers nécessaires pour obtenir le r-ième pile. Alors X suit une loi de Pascal de paramètres r et p.


On semble mettre r = 10 (la 10eme correction),p=3/4(la proba d'une correction), on a X qui donne le nombre de lectures pour la 10eme correction.

Seulement la proba d'une correction est-elle 3/4? Ici il s'agit de la lecture, pas d'une erreur en particulier?

[Ben314]

Salut,
Je confirme la soluce de Yos.
On peut même calculer le "polynôme générateur" (dont le coeff. en est la proba qu'il reste k erreurs aprés n relectures) :

qui permet non seulement de vérifier que la proba. qu'aprés n relectures il reste 0 erreurs est bien de mais aussi de calculer si on veut la proba qu'il reste k=1,2,...,10 erreurs et de constater que, pour n fixé les différentes proba. (k=0,1,...,10) suivent une loie binomiale.
Par contre, je ne voie aucune loie de Pascal ici...