Une histoire de gâteau

[ffpower]

Je me tente à lancer une énigme, en espérant que cette fois elle n'a pas déja était posée ( surtout que de souvenir Imod a déja posté des énigmes de gateaux^^)
Donc on part d'un gâteau circulaire, on fixe un nombre puis: on effectue une coupe du gâteau, du centre vers l'exterieur selon une direction prédéfinie, disons par exemple verticalement vers le bas si on regarde le gateau de dessus. Ensuite on tourne le gateau selon l'angle puis on réeffectue une coupe vers le bas. On tourne encore le gateau selon l'angle , on réeffectue une coupe vers le bas,ect...Au bout d un nombre d'étapes quelconque, on s'arrête. Montrez que dans toutes les parts de gateau qu on obtient alors, il n'y a que 3 types de parts différentes.
Bonne chance :we:
PS:j'aurais bien fait un dessin, mais je sais pas dessiner :happy2:

[Imod]

Bonsoir ,

Je n'aurai vraiment pas le temps de réfléchir au problème avant ce week-end . Alors juste un message pour dire que je ne l'ai jamais posé ni vu ce problème auparavant :zen:

Imod

[Ben314]

Je pense avoir la réponse :
Pour je noterais l'unique réel de tel que .
Je considère que l'angle est donné en tour (pour pas ma faire c... avec les ) et que l'on a donné coups de couteau numéroté de à .
La "part" qui "commence" au coup de couteau a donc pour taille (en tour) :

et, (si je m'est pas gourré) les seules valeurs que prennent les sont :




C'est y Bon ?

[ffpower]

Bonjour...Ce que tu dis à l'air d'être juste sur le dessin. As tu un moyen rigoureux de justifier que les seules valeurs de sont celles que tu as dites? :hein:

[Doraki]

Ca me paraît correct.
Pour que tk soit différent de t0 et tN il faut que b < -k .. N-k < a.
On regarde le c tel que b < c < a et tk = phi(c*theta).
Si c est <= 0 alors tk > tN, et alors tk - tN = phi((c-b)*theta) >= t0.
Donc tk >= t0 + tN = phi((a+b)*theta)
De même si c est positif.

tk = t0 pour -a <= 0 <= k <= N-a ;
tk = tN pour -b <= k <= N <= N-b ;
tk = t0+tN pour -(a+b) <= N-a < k < -b <= N-(a+b)

[Ben314]

Pour que tk soit différent de t0 et tN il faut que b < -k .. N-k < a.

Attention, ce n'est pas clair en général :
Le plus petit phi(k*theta) est évidement le plus petit de {phi(a*theta),phi(b*theta)}, mais le "deuxième plus petit" des phi(k*theta) n'est pas forcément l'autre (par exmple pour x proche de 1 et N pas trop grand on a a=N et b=-1 et le "deuxième plus petit" est \varphi(-2) : ca marche évidement car le "deuxième plus petit" est avant b, mais dans le cas général, cela demande une petite explication...).
Tout ca pour dire que, par exemple si b=-2 et a=3, il n'est pas immédiat que le max pour (-1,0,1,2,3) soit pour 3

Pour ffpower, non, je n'ais pas la preuve trés rigoureuse car j'y ait juste réfléchi "vite fait" et quand j'ai voulu l'écrire propre, je me suis rendu compte... que j'avais fait la même erreur que doraki.

P.S. Je suis sûr que c'est bon quand même, que l'on a forcémént phi((a+b)\theta)=phi(a\theta)+phi(p\theta) et donc qu'il est plus grand que les deux.... (j'y travaille...)

[Ben314]

Bon, cette fois j'ai bien tout écrit et mon "objection" ci desssus est... nulle et non avenue (je la laisse quand même pour voir si ca embrouille les autres comme ca m'a embrouillé)
Le petit calcul de doraki (qui était aussi le mien) montre que si b<k<a alors et comme ( car ) est plus petit que et que on conclue comme le fait doraki.

Peut être faut quand même préciser que a+b est évidement dans {-k...N-k}

[Doraki]

Moi je sais que tu m'as embrouillé et j'ai eu des doutes.
Je crois que c'est parce que la pseudo-additivité de phi est importante et qu'on en parle pas beaucoup au final.

[Ben314]

Moi je sais que tu m'as embrouillé

BEN CONTENT !!!!!

[ffpower]

Ok ca marche, bien ouej. Pour ma part je m'en étais sorti en faisant une reccurence foireuse..