Bijection

[linda23]

Bonjour,
je comprends pas du tout un exercice:

Montrer que f est une bijection de I dans J et déterminer (f^-1)'(y0 ) pour les valeurs de y0
indiquées.

1) f(x)=racine de(1+lnx), I, J à préciser, y0 décrivant tout J.
2) f(x)=x+exp(x) ,I=J = IR , y0 = 2 + exp(2),
puis y0 = 1.

Je comprends absolument rien ni meme mon cours

Merci d'avance pour votre aide

[linda23]

comment demontrer qu'une fonction est bijective ? vous pouvez juste me montrer comment faire avec la premiere fonction svp ??

[Ben314]

Pour montrer qu'une fonction f est bijective, il faut montrer que, pour tout y FIXE dans l'ensemble d'arrivé, il existe un unique x dans l'ensemble de départ vérifiant f(x)=y.
Dans la pratique, cela signifie que tu écrit "f(x)=y" et que tu cherche à résoudre l'équation EN CONSIDERANT QUE TU CONNAIT y.
Un exemple :
Si f(x)=3x (de R dans R) alors l'équation y=3x a pour unique solution x=y/3 donc f est bijective et sa bijection réciproque est g(y)=y/3 (de R dans R).

[LoLLoLLoL]

Une autre methode consiste à montrer que la fonction est continue+ monotone.
Pour le calcul de (f^-1)' reviens a f°f^-1=id.

[linda23]

comment je trouve si elle est monotone et continue ?

[Ben314]

Ce que propose LoLLoLLoL est parfaitement exact (on utilise les dérivées et le tableau de variation pour cela) mais, dans les exercices où l'on demande de calculer la bijection réciproque ce n'est pas indispensable car de toute façon, il faudra résoudre l'équation y=f(x)...
Cela peut quand même être utile car cela permet AVANT DE FAIRE LES CALCULS de savoir que l'on doit toujours trouver une et une seule solution.

Conclusion : à toi de voir...

[Ben314]

Je rajouterais que, dans l'exercice présent où tu doit déterminer les ensembles de départ et d'arrivé, étudier les variation de f avant de faire les calculs risque de t'être d'une grande aide...

[linda23]

je trouve que l'ensemble de definition est ]e^-1,+l'infini[
mais aprés je ne sais que faire....

[Ben314]

dresse le tableau de variation et regarde dans quel intervalle "se balade" f(x) lorsque x décrit ton intervalle.

Remarque : pour f on PEUT prendre x=e^(-1) : l'intervalle de D_f est fermé à gauche

[linda23]

j'ai trouvé que la dérivée etait 1/x/2racinede(1+lnx)

mais j'arrive pas à faire le tableau de variation

[linda23]

et j'ai determiner I mais J je ne sais pas comment faire
c'est vraiment dur

[Ben314]

ta dérivée est donc positive... (le "x" est dans D_f donc positif)

Le J se lit ensuite dans le tableau de variation

[linda23]

pourquoi ma dérivée est positive?

[linda23]

j'ai donc trouvé que f(x) est croissante et f(e^-1) =0 et lim quand x tends vers + l'infini de f(x)=+ l'infini

et donc c'est ça J ? et aprés j'e conclu quoi ? que c'est monotone et continue donc bijective ?

[linda23]

???? je suis désesperée je n' yarrive pas

[Ben314]

effectivement, la fonction est strictement monotone sur [1/e,+infty[ (le fait qu'elle ne soit pas dérivable en 1/e ne pose pas de sousis car elle est continue) DONC réalise une bijection de cet intervalle sur son image qui est J=[0,+infty[ (grâce au tableau de variation : J est l'ensemble des valeurs que peut prendre f(x))

Reste à déterminer la bijection réciproque.
On FIXE un y dans J est on cherche LE x dans I tel que f(x)=y (ici, grâce à ce que l'on a déjà démontré, on SAIT qu'il n'y en a qu'un)

[linda23]

j'arrive pas à trouver la valeur...comment on fait ? il y a une formule ? j'ai une formule bizzare dans mon cours mais je la comprends pas bien : f^-1'=1/f'of^-1

je trouve pas

[linda23]

j'y arrive pas :( depuis tout à l'heure je galere dessus c'est impossible ce truc

[Windes]

Ben...en fait j'ai tt fait exactement comme toi mais je me suis aussi arreter au tableau :( je n'y arrive pas ...

[Ben314]

Pour tout et tout on a les équivalences suivantes :
(car )