Bijection entre R et R^2

[Lemniscate]

Bonjour,

On sait que, si l'on définit le cardinal grâce à la relation déquivalence :
Les ensembles E et F ont même cardinal (|E|=|F|) ssi E et F sont en bijection,

Alors on a |R|=|R^n| pour n>0.

Mais j'aimerais construire une bijection entre R et R^2 ou au moins en définir une. Une fois cela fait, par récurrence on aura le résultat entre R et R^n (enfin je pense)...

Je pense qu'on peut démontrer (je ne sais pas le faire) que cette bijection sera nécessairement non continue (j'arrive pas à imaginer un arc paramétré continu de R dans R^2 qui soit bijectif... mais peut-être me trompé-je ?).

Un ami m'a proposé une idée mais je n'ai pas tout compris :

1) On définit une bijection entre et grâce à la fonction exponentielle.

2)On définit une bijection (non continue) entre et grâce à la fonction qui à tout entier strictement positif n associe (n-1) et qui laisse invariant.

3)On obtient une bijection entre et

Une fois qu'on a cela, on utilise la notion de développement décimal illimité propre et la position d'un point X du "demi-plan" par rapport par rapport à l'ave des ordonnées (X "positif si à droite de cet axe "négatif" sinon) pour avoir la bijection entre et . C'est cette dernière étape que je ne saisis pas...

Peut-être avez-vous des constructions plus simples en tête ?

Personnelement j'avais pensé à un arc paramétré g définit de R+ (R+ étant en bijection avec R cf citation) vers R^2 qui décrit un "escargot" passant par tout point de R^2 et tel que g(0)=(0,0).
Mais comme je l'ai dit précédemment, je pense qu'il ne peut pas atteindre tous les points de R^2 (g n'est sans doute même pas définissable...)

Merci pour vos réponses.

[ThSQ]

Ramène toi à ]0,1[ et entrelace et désentrelace les décimales (après avoir choisit une des deux représentations)

[Doraki]

Montre que R est en bijection avec P(N),
puis montre que P(N) est en bijection avec P(N)²

Et puis il n' existe pas de bijection continue entre R et R² ou autres variantes


Et puis après tu pourras essayer de montrer que R est en bijection avec R^N

[Lemniscate]

Ramène toi à ]0,1[ et entrelace et désentrelace les décimales (après avoir choisit une des deux représentations)

De quelles représentations parles-tu ?

[ThSQ]

0.5 et 0.49999999.......

[Lemniscate]

Merci pour vos réponses.

J'ai essayé de faire quelque chose avec ce que tu m'as dit ThSQ, bien que je n'ai pas tout à fait compris ce que tu entendais par entrelacement et désentrelacement des décimales... (j'ai compris par contre le truc des représentations).

Bon je prend la représentation du type 0.4999999999999... (et non 0.5).

Déjà j'ai une petite question, je ne suis plus sûr mais si je prends cette représentation alors tout nombre réel admet un et un seul ddi (développement décimal illimité) ?

Si oui,

Je construis une bijection gof qui ramène R à ]0,1[.
Par exemple
si et



Après je dis que : tout x de ]0,1[ s'écrit de manière unique de la façon suivante :
avec (cf unicité du ddi de tout x avec la représentation du type 0.49999....)

Je construis h la fonction de ]0,1[ dans ]0,1[x]0,1[:


Je montre assez facilement que h est une bijection.

Après, de façon analogue à précédemment, on construit une bijection de ]0,1[x]0,1[ dans R^2.

Et voilà !

Cela me paraît juste, merci ThSQ.

Je vais essayer plus tard ce que tu m'as dit Doraki, je voulais d'abord "construire" avant de "démontrer" des choses.

Merci encore !

[Doraki]

Ton f ne prend que 3 valeurs différentes (-1, 0, et +1), donc c'est mal parti pour que g o f soit une bijection.

Maintenant, h non plus n'est pas une bijection :
D'abord elle est à image dans [0 ; 1] x [0 ; 1] (m'enfin bon)
Et elle est mal définie vu qu'on peut faire apparaitre des dévleoppements décimaux interdits :

h(0.129090909090...) = (0.200000... , 0.199999...) = h(0.210909090909...)

[Lemniscate]

Alors effectivement f est mal définie. Malheureusement je ne m'en suis rendu compte qu'à mon réveil .

On va prendre plutôt .

Là c'est bon !

Point suivant :

J'ai recherché un peu plus d'informations sur le cours sur les développements décimaux, et j'ai vu que tout réel positif admet un unique ddi propre. ( source ).

Maintenant il faut que je construise une nouvelle bijection h...
La notion de développement propre me donne que pour tout x dans ]0,1[ :


où appartient à {0,1,...,9} est donné par où E est la fonction partie entière et avec .

Je pense qu'à ce moment là, la bijection h précédemment construite est bien une bijection, non ? Puisqu'on aura pour tout x "il existe des entiers i aussi grands que l'on veut tels que ", et donc le problème de l'injectivité de h est résolu (du moins ce tu m'as dit Doraki ne posera plus problème) et h sera bien à valeurs dans ]0,1[x]0,1[.

Merci de me dire si cette nouvelle construction marche ou non.

[Lemniscate]

Bon alors j'ai un peu réfléchi et ma bijection h ne marche toujours pas pour les raisons invoquées par Doraki :
Par exemple
h(0.090909090909...)=(1,0)
et h(0.909090909090...)=(0,1)
donc h à valeurs dans [0,1]x[0,1]

mais bon il y a bijection de [0,1] dans ]0,1[ comme card([0,1])=card(R)=card(]0,1[), cela dit peut on la construire explicitement je ne sais pas...

et h toujours pas bijective car, comme l'a fait remarquer Doraki
h(0.129090909090...) = (0.200000... , 0.199999...) = (0.200000...,0.200000...) = h(0.22)

Après si je construis n'importe quelle fonction qui "sélectionne" non aléatoirement (ce qui est toujours le cas si je veux définir une fonction) h ne sera pas bijective car je peux trouver 2 valeurs de ]0,1[ qui ont la même image (cf ddi impropres [càd "interdits"] qui apparaissent dans l'image de h, avec pourtant des ddi propres pour les antécédents).

Donc en fait je sèche totalement sur la construction de h... et je n'ai pas compris ce qu'a voulu dire ThSQ sur "entrelacements et désentrelacements" des décimales.

[ThSQ]

Entrelacer et désentrelacer les décimales permet de créer deux injections entre ]0;1[ et ]0;1[x]0;1[ (bon dans un sens c'est pas super utile !) et en conclus par Cantor-Bernstein.

[Lemniscate]

J'ai essayé ce qu'a dit Doraki :

En fait j'ai vu quekque part que si est le cardinal de N alors est le cardinal de R. A partir de la j'ai cherché une bijection entre et .

1) Montrer que est en bijection avec

J'ai considéré la bijection p définit comme ceci:
Si est une partie de alors
où
si et
sinon.

Je pense qu'il est clair que p est une bijection de vers .
(NB : on a )

2) Montrer que est en bijection avec

Alors j'ai "ramené" à (et là je n'ai pas de bijection explicite, cela m'embête un peu).

Et j'ai dit que tout nombre x de [0,1] s'écrit de facon unique comme une somme de nombres de la forme . Càd tel que . Par exemple est constante égale à 1 et est constante égale à 0.

Je vous préviens d'emblée : je ne suis pas du tout sûr que "tout x de [0,1] s'écrit de facon unique comme une somme de nombres de la forme " mais je me souviens avoir vu quelque chose comme ca il y a quelques temps.

EDIT : Oui bon c'est le même problème que les ddi impropres/propres sauf qu'ici ce sont des "dbi" (développements binaires illimités) mais je pense que de même que pour les ddi propres il y a unicité du dbi propre, et c'est celui là qu'on prend.

Donc si cela est vrai, comme est une suite de N* (en bijection avec N cf translation n -> (n-1) ) à valeurs dans {0,1} et est déterminée de facon unique à partir de x alors la fonction q définie par :
, est bijective !

3) D'où bijection entre et

Maintenant je ne sais pas (encore) comment montrer que P(N) est en bijection avec P(N)²...

Pour ThSQ : Ok d'accord, mais je suis curieux de savoir comment tu construis les 2 injections (ou du moins comment tu montre qu'elles existent)...

[ThSQ]

Comme toi pour R² -> R (l'autre on s'en fout un peu ;). Il y a des réels sans image (un nombre dénombrable d'ailleurs) mais c'est bien une injection.

[Lemniscate]

Comme toi pour R² -> R (l'autre on s'en fout un peu . Il y a des réels sans image (un nombre dénombrable d'ailleurs) mais c'est bien une injection.

Comme moi ? moi j'avais construit h de R dans R² non ?

Mais je crois comprendre ce que tu veux dire, je peux construire d'une part :
l'injection i de R dans R² (ou de ]0,1[ dans ]0,1[x]0,1[) telle que i(x)=(x,0)

d'autre part :
l'injection j de ]0,1[x]0,1[ dans ]0,1[ telle que :
j(a,b)=x où on utilise la notion de ddi propre unique :



.

L'injectivité de j résulte de l'unicité des ddi propres.

Après on applique le théorème de Cantor-Schröder-Bernstein pour avoir une bijection (qui sera donc a priori non explicite ) de ]0,1[x]0,1[ dans ]0,1[.
On se ramène ensuite grâce à la fonction Arctan à R et RxR !

Merci bien ! Je ne connaissais pas le th de CSB...

Cela dit, j'aimerais bien savoir aussi coimment faire avec la méthode de Doraki

[Doraki]

Salut,
pour montrer que R est en bijection avec ]0 ; 1[,
tu peux utiliser simplement x -> 1+ (2/pi)*arctan(x).

Ensuite, pour ]0 ; 1[ et {0;1}^N,
comme tu le sais, le développement décimal en binaire donne une injection
]0 ; 1[ -> {0;1}^N,
le défaut étant que la suite (0), la suite (1), et que les nombres se terminant par que des 0 ou que des 1 (selon ta convention favorite) ne sont pas atteints.

Vu qu'il n'y en a qu'un nombre dénombrable, on peut régler le problème en
faisant des bijections ]0 ; 1[ <-> ]0 ; 1[ + N <-> {0;1}^N.
C'est pas très dur de sortir une copie de N d'un ensemble infini.
Ou on cache ça en invoquant Cantor Bernstein
.... enfin bon c'est pas super marrant.

Pour ce qui est de {0;1}^N <-> ({0;1}^N)² = {0;1}^(N+N),
On utilise simplement une bijection entre N et N+N, qui correspond à l'entrelacement des décimales :
Si j'appelle les éléments de N+N, (left n) pour les éléments du N de gauche et (right n) pour les éléments du N de droite,
on a la bijection
0 -> left 0
1 -> right 0
2 -> left 1
3 -> right 1
....

Dans tous les cas, le principe fondamental qui permet d'avoir R en bijection avec R², c'est cette bijection entre N et N+N.

Après, ce qu'il y a de marrant, c'est que N est aussi en bijection avec N².
Donc on a R = {0;1}^N = {0;1}^(N*N) = ({0;1}^N)^N = R^N.

[Lemniscate]

Alors effectivement f est mal définie. Malheureusement je ne m'en suis rendu compte qu'à mon réveil .

On va prendre plutôt .

Là c'est bon !

Après je fais x->(x+1)/2.
Donc ca je l'avais mais peut-être que tu n'as pas tout lu (c'est vrai que j'ai été long).

pour montrer que R est en bijection avec ]0 ; 1[,
tu peux utiliser simplement x -> 1+ (2/pi)*arctan(x).

La on arrive dans ]0,2[ mais bon je vais pas pinailler parce que t'as pas fait une homothétie (que tu sous-entendais sans doute).

Ensuite, pour ]0 ; 1[ et {0;1}^N,
comme tu le sais, le développement décimal en binaire donne une injection
]0 ; 1[ -> {0;1}^N,
le défaut étant que la suite (0), la suite (1), et que les nombres se terminant par que des 0 ou que des 1 (selon ta convention favorite) ne sont pas atteints.

Oui donc quand j'ai parlé de dbi propre (développement binaire illimité), on a ce problème que tu as évoqué n'est-ce pas ?
Même en se mettant dans [0,1] on reglera juste le problème pour (0) et (1).

Quand tu dis que "]0 ; 1[ ]0 ; 1[ + N "
Déjà que notes-tu ]0 ; 1[ + N ? L'ensemble des couples (x,n) où x dans ]0,1[ et n dans N ? L'ensemble en considérent que ]0,1[ et N ont des éléments qui ne sont pas de même nature [ie qu'un entier n'est pas un réel, enfin juste par convention pour cet exo]? je vais raisonner avec cette dernière définition.

Et je ne comprends pas parce que ok on a une injection ]0 ; 1[ -> {0;1}^N et après tous les élément de {0;1}^N qui "posent problème" (qui ne sont pas atteints) forment un ensemble dénombrable donc en bijection avec N. Donc on a {0;1}^N ]0,1[ + N (ce que tu as d'ailleurs écrit).

Mais pourquoi diable ]0 ; 1[ ]0 ; 1[ + N là je ne te suis pas !

Je n'ai pas non plus compris pourquoi ({0;1}^N)² = {0;1}^(N+N), peux-tu me détailler cela s'il te plaaît ?

Sinon après je suis d'accord avec toi (en fait NN+N c'est un peu la même chose que ZN !)

Merci !

[Doraki]

]0,1[ et N ont des éléments qui ne sont pas de même nature

Mais pourquoi diable ]0 ; 1[ ]0 ; 1[ + N là je ne te suis pas !

Oui, je parle d'une réunion disjointe de ]0;1[ et de N.

Soit E un ensemble infini.
E contient donc un ensemble infini dénombrable F en bijection avec N.
Soit G = E privé de F.

On a alors des bijections
E F+G N+G (N+N)+G N+(N+G) N+(F+G) N+E

J'utilise encore une bijection entre N et N+N.

Par exemple pour notre ]0;1[ ]0;1[ + N, on prend la suite (1/2^n) pour avoir la bijection :

f(1/2^(2n)) = left (1/2^n)
f(1/2^(2n+1)) = right n
f(x) = left x si x n'est pas de la forme 1/2^n.


Pour (2^N)² = (2^N)*(2^N)
Donc les éléments de ça sont les couples de fonctions de N dans {0;1}.
Et c'est pareil que les fonctions dont l'ensemble de définition est 2 copies de N, toujours à valeur dans {0;1}.

Si f1 : N -> {0;1} et f2 : N -> {0;1},
on les combine et on obtient f : N+N -> {0,1}
en disant que f (left n) = f1 n et f (right n) = f2 n.

Donc 2^N * 2^N c'est pareil que 2^(N+N)

[Lemniscate]

Merci pour ces explications.

C'est vrai que le théorème de Cantor Bernstein est moins sympa puisqu'on ne "voit" pas. Surtout que j'ai pas trop regardé la démo de ce th mais elle à l'air pas très sympa :).

Je vais rédiger tout ca au propre maintenant !

Bye !

[ffpower]

Arrete,elle est fun la demo de cantor bernstein

[Lemniscate]

En tout cas elle est plus courte.
Mais moi je suis comme St Thomas, je ne crois que ce que je vois :) Enfin pas aussi extrême quand même mais je préfère les démos constructives aux autres démos (qui je te l'accorde peuvent être aussi voire plus fun !).

Edith : Ok je viens de comprendre ton message, mais en fait je l'ai pas vraiment regardée la démo du th de C.B. !

[ThSQ]

je préfère les démos constructives aux autres démos

Léon, sors de ce corps !