Je suis actuellement en Terminale S et j'ai un DM à rendre pour vendredi. Je l'ai terminé à l'exception d'un exercice qui, je l'avoue, me pose problème. Je vous donne l'énoncé avant de vous détailler tout ce que j'ai déjà fait.
Enoncé :
Soit (Un) et (Vn) les suites définies pour tout entier naturel non nul, par :
Un = 1/(1+;)n) + 2/(1+;)(2n)) + ... + n/(1+n),
Vn = 1/(1+n²) + 2/(2+n²) + ... + n/(n+n²)
1° Démontrer que, pour tous les entiers naturels non nuls n et k tels que 1
k n : 1/(1+;)(kn))
1/(1+n).En déduire que Un
(1/2)n et déterminer la limite de la suite (Un). 2° Démontrer que, pour tout entier naturel n non nul, 1/2
Vn (n(n+1))/(2(n²+1)). En déduire que la suite (Vn) est convergente et préciser sa limite.
Et voici ce que j'ai déjà fait :
J'ai donc commencé l'exercie et réussi à prouver que 1/(1+;)(kn))
1/(1+n) (soit, la première partie de la question 1°). En revanche, la seconde partie de cette même question me donne vraiment du fil à retordre puisque je n'arrive pas à prouver que Un (1/2)n. J'ai simplement réussi à prouver que Un
n(1/(1+n)) et que (1/2)n n.(1/(1+n)), mais je n'arrive absolument pas à démontrer que Un (1/2)n (j'ai pourtant plancher sur cette question durant des heures =/). Je réussi toutefois à déterminer la limite de la suite (elle tend vers +;) lorsque n tend vers +;)).
En ce qui concerne la seconde question, j'ai réussi à la résoudre entièrement.
J'apprécierais donc énormément que vous puissiez me donner quelques pistes (mais pas de réponse) afin de répondre à cette question.
En vous remerciant d'avance,
Mezame.
