Matrice symétrique - forme quadratique

par **MacManus** » 24 Aoû 2009, 18:08

Bonsoir ! :happy:

Soient E un E.V. euclidien de dimension 4 rapporté à une base orthonormée B=(e1,e2,e3,e4). On considère la matrice symétrique à coefficients réels définie par :

On suppose que l'endomorphisme associé est non bijectif

J'ai plusieurs questions concernant cette matrice M.

1) Quel est le rang de M ? ( rg(M)=2 ? )
2) Comment puis-je calculer com(M), la commatrice de M (je connais la formule

mais est-elle bien adaptée ici ?)

J'ai une question peut-être bête : peut-on dire que toute matrice symétrique réelle est inversible ? eh bien je pense que NON

Merci beaucoup !

par **girdav** » 24 Aoû 2009, 18:23

Bonjour.
Pour la comatrice on a la méthode bourrin qui consiste à calculer le mineur (le déterminant avec la colonne et la ligne correspondant "barrées".

J'ai une question peut-être bête : peut-on dire que toute matrice symétrique réelle est inversible ? eh bien je pense que NON

Je crois aussi:

doit être un conte-exemple.

par **skilveg** » 24 Aoû 2009, 18:28

Salut,

Pour la 1), je crois qu'il y a plein de cas à distinguer:

ou non,

ou non. Tu n'as pas plus d'hypothèses sur

et

? ça permettrait peut-être de calculer la comatrice à la main (si la matrice est de rang inférieur à 2, elle est nulle).

Pour la 3) (qui vient d'être effacée...): oui.

Pour le coup des matrices symétriques inversibles, la matrice nulle est un contre-exemple encore meilleur.

par **MacManus** » 24 Aoû 2009, 18:29

Ok merci girdav je vais calculer cette commatrice :)
pour le rang en revanche je ne suis pas très certain...
il y a bien des conditions sur les réels a et b mais dans des questions prédédentes de mon sujet et pas pour cette question précisément!!
oui j'ai trouvé la réponse à la question 3 que je viens d'effacer!
Merci pour vos exemples.

par **skilveg** » 24 Aoû 2009, 18:35

Je te déconseille de calculer brutalement la comatrice, ça fait quand même 16 déterminants 3*3... Essaie plutôt d'utiliser le rang: si c'est 2, la comatrice est nulle, si c'est 3, elle est de rang inférieur à 1, avec des lignes dans le noyau de la matrice, et il suffit de calculer 4 déterminants 3*3.

Tu es vraiment sûr que tu n'as pas plus d'infos sur a et b?

par **MacManus** » 24 Aoû 2009, 18:38

Oui c'est plus intelligents je pense. Merci skilveg
Si je viens de voir la condition ;)a;);) ;)b;) (excusez-moi)

par **girdav** » 24 Aoû 2009, 18:45

MacManus a écrit:Oui c'est plus intelligents je pense. Merci skilveg
Si je viens de voir la condition a;);) b;) (excusez-moi)

C'est plus rapide que de calculer les 16 déterminants! On peut donc établir que le rang est plus grand que

. Reste à montrer que ça ne peut pas être

.

par **skilveg** » 24 Aoû 2009, 18:49

Si, c'est 3, je crois: le déterminant du mineur principal en haut à gauche vaut

(si je ne me suis pas planté).

par **MacManus** » 24 Aoû 2009, 18:50

Oui d'accord je vois. merci à vous deux. (je ne voulais pas dire que tu n'étais pas inteliligent girdav en tout cas :lol3:

par **girdav** » 24 Aoû 2009, 19:02

MacManus a écrit:Oui d'accord je vois. merci à vous deux. (je ne voulais pas dire que tu n'étais pas inteliligent girdav en tout cas :lol3:

Vu le festival que j'ai fais...

Matrice symétrique - forme quadratique

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