[Défi] Inégalité à 3 variables III

[Zweig]

Salut,

Allez, une petite dernière ...

On pourra se servir du résultat suivant :



1) Montrer que pour tout triplet de réels strictement positifs , il existe un triplet de réels tels que , et vérifiant les égalités suivantes :

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2) Soient et deux triplets de réels positifs vérifiant et . Montrer l'inégalité suivante, dite inégalité de Chebychev :
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3) En déduire l'inégalité suivante, valable pour tous :

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[Edward]

Juste une petite question, comment fait-on pour obtenir la relation admise au début ? Ca fait un petit moment que je cherche mais je ne trouve pas de pistes valables... Je sais que c'est pas trop le but du topic mais bon ^^

[Djmaxgamer]

C'est la question a) de son autre topic ^^

[Zweig]

Edward > A l'aide de l'inégalité de Jensen (la fonction cos est concave).

[Zweig]

Pour être plus précis : est concave sur car pour tout réel , . Donc d'après le cas particulier de l'inégalité de Jensen on a :

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i.e,

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[Edward]

Merci pour tes précisions, j'aurais eu du mal a trouver car je ne connaissais le théorème que dans le cas particulier où la somme des coefficients est égale à 1. En fouillant un peu sur le net j'ai trouvé la version générale, et maintenant c'est plus clair pour moi ^^.

[Zweig]

Ah bah non, c'est ce cas-là que j'ai utilisé : (dans notre cas ). Sauf que j'ai pris le cas où

http://fr.wikipedia.org/wiki/In%C3%A9galit%C3%A9_de_Jensen

[Edward]

haaaaaaaaaaa ok, j'avais rendu ça plus compliqué que ça en avait l'air (en fait j'ai confondu les coefficients et les points, bref...). Merci encore ^^

[Zweig]

Au plaisir :++: