Inégalité III : un classique

[Mhdi]

Salut,

a, b et c sont des réels positifs. Montrer que :

@+

[Zweig]

Salut,

Sympa ton inégalité :++:

Alors déjà, ce qu'il y'a sous les racines me fait penser à Al-Kashi, c'est assez direct si on connait ce théorème, d'où mon idée d'essayer d'interprêter ça géométriquement :







Or d'après le théorème d'Al-Kashi :





L'inégalité demandée n'est autre que l'inégalité triangulaire.

[Zweig]

Salut,

Sympa ton inégalité :++:

Alors déjà, ce qu'il y'a sous les racines me fait penser à Al-Kashi, c'est assez direct si on connait ce théorème, d'où mon idée d'essayer d'interprêter ça géométriquement :







Or d'après le théorème d'Al-Kashi :





L'inégalité demandée n'est autre que l'inégalité triangulaire.

[Mhdi]

Or d'après le théorème d'Al-Kashi : c = \sqrt{a^2 -2ab\cos(\frac{\pi}{3})+b^2} a = \sqrt{b^2 -2bc\cos(\frac{\pi}{3})+c^2} b = \sqrt{a^2 -2ac\cos(\frac{\pi}{3})+c^2}

D'après ce que tu viens d'écrire, on peut déduire angle(a,b)=angle(b,c)=angle(c,a)=pi/3, ce qui suppose que a=b=c. Or ce n'est pas toujours le cas !

[Zweig]

Oui je viens de voir ça ; cela dit, je pense que t'es trompé dans ton inégalité, dans le membre de droite ce serait plutôt +ac et dans ce cas on a :

http://img388.imageshack.us/my.php?image=mehdinz2.png

avec , et

On conclut comme précédemment.

[Mhdi]

Je pense aussi que l'exercice est erroné. C'est pourquoi j'ai posté ici ^^. Toutefois, si on démontre que l'inégalité est valable pour +ac on peut le démontrer aussi pour -ac...mais ça n'a pas vraiment de sens.

[Zweig]

Bah, l'inégalité si c'est -ac n'est vraie que si a = b = c d'après ce que j'ai montré plus haut.

[Mhdi]

Tu as montré que si a=b=c, l'inégalité est vérifiée, non?

[lapras]

Mais, tout triplet de réel (a,b,c) ne correspond pas aux côtés d'un triangle !?

[Zweig]

Pour la deuxième inégalité, si, car seulement a et b forment les côtés d'un triangle (c forme un deuxième triangle), donc il n'y a pas de soucis, par contre il est vrai que pour la première inégalité, cela ne marche pas

[Mhdi]

@Zweig :