[Défi] Inégalité à 3 variables II

[Zweig]

Salut,

Dans le même genre que mon précédent topic, voici un autre exercice (plus difficile à mon sens) que je vous ai concocté pour vous faire réviser votre trigonométrie (décidément, ma gentillesse est sans limite :zen:).

Celui-là, il est plus accessible pour les Premières S.

1) Montrer que pour tout triplet de réels strictement positifs , il existe un triplet de réels tels que , et vérifiant les égalités suivantes :

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2) Montrer l'inégalité suivante, dite inégalité de Jordan :

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3) En déduire l'inégalité suivante, valable pour tous :

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[Zweig]

Pareil, pas le droit à l'utilisation d'outils de Sup :zen:

[egan]

Pour la 2, deux rapides études de fonction suffisent.

[Zweig]

Oui oui :++: Il reste les 2 autres ...

[egan]

Attends laisse moi chercher un peu. ^^

[egan]

Pour la 1, je fais que cos a/2. C'est pareil pour les autres.
cos a/2 compris entre 0 et 1 au sens large et la deuxième partie de l'égalité inférieure strictement à 1.
Je suis pas sur que ça suffise. T'en penses quoi ?

[Zweig]

Hum, je ne suis pas sûr que ça suffise, car tu ne montres pas que tout réel entre 0 et 1 s'écrit sous la forme souhaitée (membre de droite).

[Ericovitchi]

oui la 2) traduit le fait que le sinus est convexe et au dessus de sa corde (qui va de zéro à PI/2) et également sous sa tangente en zéro.

[Zweig]

Petite aide pour la 1) peut-être ?

[egan]

Pour la 1, pour chaque égalité, la racine est comprise en 0 et 1 strictement. Donc il y forcément un réel compris entre 0 et pi/2 strictement tel que cos de ce réel est égal à la racine. En posant ce réel égal à a/2, on trouve a compris entre 0 et pi strictement.
Pour montrer que la a+b+c=pi, il faudrait montrer que cos((a+b+c)/2)=0 en bricolant avec les égalités certainement.
Le problème c'est que les formules avec des cos(a+b+c) sont pas cools, lol.
Je continue de chercher.

[egan]

Non laisse nous chercher encore un peu. ^^

[Zweig]

La correction page 6 : http://pruno.dagen.free.fr/trigo_ineg2.pdf