[Défi] Inégalité à 3 variables

par **Zweig** » 18 Aoû 2009, 19:21

Salut,

La rentrée approche ... Afin de vous faire réviser la trigonométrie, je vous ai concocté un petit exercice (pas d'bol, j'suis un fana des inégalités :id:). Bon, ce n'est pas vraiment un problème ouvert, dans le sens une question et vous vous débrouillez ... Il n'empêche que j'ai fait en sorte que l'exercice ne soit pas trivial (lapras, t'es hors-jeu :id: Bah quoi, faut bien faire durer le topic :cry:

) ...

Cet exercice est plutôt destiné aux Premières-Terminales S.

On pourra utiliser le résultat suivant :

Soient

les angles d'un triangle. On a l'inégalité suivante :

[CENTER]

[/CENTER]

a) Soient

. Montrer que ces 3 réels sont des angles d'un triangle si et seulement si :

[CENTER]

[/CENTER]

b) Soient

et

deux triplets de réels. Montrer l'inégalité suivante :

[CENTER]

[/CENTER]

c) En déduire l'inégalité suivante, valable pour tous

vérifiant

:

[CENTER]

[/CENTER]

Interdiction d'utiliser des outils de Sup (cf : la concavité de

pour la question c) et d)) ou plus haut.

par **Zweig** » 18 Aoû 2009, 19:47

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par **egan** » 18 Aoû 2009, 19:54

Ca a l'air amusant ton exo. ^^
Encore un coup à pas arriver à dormir, lol.

par **Zweig** » 18 Aoû 2009, 20:00

Peut-être pas jusque là quand même. Disons que je n'ai pas trop donné d'aide pour les questions ... Donc ça devrait en effet occuper pas mal ... Après, tout est relatif ^^

par **Djmaxgamer** » 18 Aoû 2009, 22:17

Zweig a écrit:Salut,

La rentrée approche ... Afin de vous faire réviser la trigonométrie, je vous ai concocté un petit exercice (pas d'bol, j'suis un fana des inégalités :id:). Bon, ce n'est pas vraiment un problème ouvert, dans le sens une question et vous vous débrouillez ... Il n'empêche que j'ai fait en sorte que l'exercice ne soit pas trivial (lapras, t'es hors-jeu :id: Bah quoi, faut bien faire durer le topic ) ...

Cet exercice est plutôt destiné aux Premières-Terminales S.

a) Soient . Montrer que ces 3 réels sont des angles d'un triangle si et seulement si :

[CENTER][/CENTER]

Soient

Si ces 3 réels sont des angles d'un triangle, alors :

En posant :

L'équation devient :

En rappliquant les formules de trigo pour cos(X) et sin(X) ;

En utilisant les formules impliquant la tangente de l'arc à moitié, en notant :

On a :

Jsuis pas sur la bonne voie la non ?
Vu que j'ai des tangentes au carré je voulais refaire les formules de la tangente de l'arc à moitié mais je pourrais pas... juste dites moi si jsuis a coté de la plaque parce que si je dois tout continuer a faire et qu'au final ça marche pas...c'est long a tout mettre en latex

par **Zweig** » 18 Aoû 2009, 22:24

Ca me semble bien compliqué tout ça ... Je dois t'avouer que j'ai un peu la flemme de continuer tes calculs pour voir si ça marche ...

par **Zweig** » 18 Aoû 2009, 22:28

Indice : Utilise à un moment

par **egan** » 19 Aoû 2009, 11:19

Les questions sont indépendantes ?

par **egan** » 19 Aoû 2009, 11:20

Zweig a écrit:Indice : Utilise à un moment

Dans cette formule, il y a des conditions sur u et v. C'était d'ailleurs le but de mon post sur tanutanv=1.

par **Zweig** » 19 Aoû 2009, 11:40

Les questions sont indépendantes, hormis la dernière.

De la manière dont je l'ai utilisée, il n'y avait pas besoin de se soucier de ce cas.

par **maturin** » 19 Aoû 2009, 12:06

Pour la B) je propose de travailler avec les 2 vecteurs de coordonnées (a,b,c) et (x,y,z).

par **Zweig** » 19 Aoû 2009, 12:18

Oui c'est une manière. On peut aussi tout développer et étudier la différence ou bien, plus astucieux, de remarquer que l'inégalité peut être ramenée à l'expression du discriminant d'un polynôme bien choisi ...

par **Dinozzo13** » 19 Aoû 2009, 16:12

Zweig a écrit:Salut,

La rentrée approche ... Afin de vous faire réviser la trigonométrie, je vous ai concocté un petit exercice (pas d'bol, j'suis un fana des inégalités :id:). Bon, ce n'est pas vraiment un problème ouvert, dans le sens une question et vous vous débrouillez ... Il n'empêche que j'ai fait en sorte que l'exercice ne soit pas trivial (lapras, t'es hors-jeu :id: Bah quoi, faut bien faire durer le topic ) ...

Cet exercice est plutôt destiné aux Premières-Terminales S.

a) Soient . Montrer que ces 3 réels sont des angles d'un triangle si et seulement si :

[CENTER][/CENTER]

b) Soient et deux triplets de réels. Montrer l'inégalité suivante :

[CENTER][/CENTER]

c) Soient les angles d'un triangle. Montrer l'inégalité suivante :

[CENTER][/CENTER]

On pourra admettre le résultat suivant :

, :

d) En déduire l'inégalité suivante, valable pour tous vérifiant :

[CENTER][/CENTER]

Interdiction d'utiliser des outils de Sup (cf : la concavité de pour la question c) et d)) ou plus haut.

merci pour tes divertissement, ça change des exercices classiques ^^. pour l'instant je galère pas trop mais quoique ^^.
P'tite question :

, t'entends quoi par là ?

par **egan** » 19 Aoû 2009, 16:20

alpha, beta et gamma sont compris entre 0 et pi au sens large.

par **Dinozzo13** » 19 Aoû 2009, 16:42

pour quoi n'as-tu pas mis d'intervalles alors ?

par **Zweig** » 19 Aoû 2009, 16:44

Bah sur des documents de maths en anglais, ils mettent des () des fois, donc apparemment, c'est tout aussi autorisé.

par **Dinozzo13** » 19 Aoû 2009, 16:46

Ah, je ne sais pas, j'ai jamais consulté de document de maths en anglais.

Tu veux donc dire que

par **Zweig** » 19 Aoû 2009, 16:53

C'est ça !

par **Zweig** » 19 Aoû 2009, 21:54

Bon, je viens de voir que l'aide que j'avais fournie n'étais pas correcte, donc j'ai effacé une question (car je ne sais pas comment la traiter sans la concavité du sinus :stupid_in).

par **maturin** » 20 Aoû 2009, 12:50

b) soit u (a,b,c) et v (x,y,z).

je vois pas le besoin de trouver un polynome astucieux

[Défi] Inégalité à 3 variables

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