Matrices a coefficients positifs

par **ffpower** » 29 Juil 2009, 18:55

Allez,encore un petit exo d algebre lin avant de partir en vacances.. :we:
Que dire d une matrice carrée A inversible dont tous les coefficients sont positifs, et dont tous les coefficients de l inverse sont aussi positifs?

par **prody-G** » 29 Juil 2009, 19:06

hm pour n=2 c'est diagonal. Cas général moins évident ^^' surtout si c'est pas ça lol

par **ffpower** » 29 Juil 2009, 19:43

Pour n=2,les antidiagonales,par exemple

, marchent aussi..

par **prody-G** » 29 Juil 2009, 20:32

ah ui pardon j'avais considéré que le cas où detA>0 ^^'

par **skilveg** » 29 Juil 2009, 20:36

En dimension quelconque, toutes les matrices de permutation où l'on multiplie chaque coefficient par un réel strictement positif marchent. Seraient-elles les seules? :hein:

par **ffpower** » 29 Juil 2009, 20:42

...........

skilveg a écrit:En dimension quelconque, toutes les matrices de permutation où l'on multiplie chaque coefficient par un réel strictement positif marchent. Seraient-elles les seules? :hein:

:++:

par **skilveg** » 29 Juil 2009, 20:48

Ah c'est bon, je crois que je l'ai. On a

avec

et

à coefficients positifs; en regardant ce que ça donne en termes de coefficients, ça veut dire que pour

et

quelconque,

. En prenant pour tout

un

tel que

(il existe sinon

ne serait pas inversible), cela montre que

pour chaque

. Donc

est bien une espèce de matrice de permutation. La réciproque est facile.

(EDIT: d'ailleurs ça résout le problème de la matrice dans

positive et à puissances bornées: son inverse est une de ses puissances, donc à coefficients positifs; et une pseudo-matrice de permutation à coefficients entiers est (en prenant le déterminant) une vraie matrice de permutation.)

par **ffpower** » 29 Juil 2009, 20:59

Bien joué,c est encore plus simple que ce que j avais fait

plutot

espèce de matrice de permutation

Pour etre precis,produit d une permutation et d une diagonale

(EDIT: d'ailleurs ça résout le problème de la matrice dans \mathrm{GL}_n(\mathbb{Z}) positive et à puissances bornées: son inverse est une de ses puissances, donc à coefficients positifs; et une pseudo-matrice de permutation à coefficients entiers est (en prenant le déterminant) une vraie matrice de permutation.)

Crois le ou non,j avais meme pas fait le rapprochement entre les 2 exos lol.Du coup,ca donne aussi une demo plus simple de cet exo que celle que j avais^^

par **skilveg** » 29 Juil 2009, 21:25

:jap:

[Lapsus

rectifié.]

Matrices a coefficients positifs

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