Somme des termes uniquement positifs avec bornes variables

[Laos]

Bonjour tout le monde!

Voilà je cherche à calculer une somme à "bornes variables", allant de 5 en 5, et en ne gardant que les termes positifs de la somme suivante :

;)T=;)i,j P*R*(1-i*j)
Avec i=]100-2x ; 100+2x] x,y étant des réels >0
j=]100-2y ; 100+y] i et j doivent être des multiples de 5 (on arrondi au multiple de 5)

Ce sera peut-être plus clair sous forme de matrice :
......i: 0 5 10 [...] 150
j:
0 T(0,0) [...] T(0,150)
5 ................................
10 ................................
[...] ................................
200 T(200,0).........T(200,150)

Matrice sur laquelle on ne somme que les valeurs de T positives et les valeurs de T pour lesquelles i et j sont dans leur intervalle respectif
Ex : si x=10 et y=11, alors i=[85;120] (85 et non 80 car intervalle semi ouvert) et j=[80,110] le tout modulo 5

Voici ce que j'ai fais :
;)(T>0)=;)i,j P*R*(1-i*j)
;)(T>0)=P*R*(;)[i,j] 1 - ;)i*;)j)
Or ;)[i,j] 1 =nb termes en i * nb de termes en j
nb de termes en i=E[((100+2x)-(100-2x)+1)/5]=E[(4x+1)/5] avec E(x):fonction valeur entière
nb de termes en j=E[(3y+1)/5]

Donc ;)(T>0)=P*R*(E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5] - ;)i*;)j)
Or ;)i=nb de termes* (dernier+1er)/2 (suite arithmétique)
;)i=E[(4x+1)/5]*(100+2x+100-2x)/2=E[(4x+1)/5]*100
De même ;)j=E[(3y+1)/5]*(100-(1/2)y)

;)(T>0)=P*R*E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5]*[1-100*(100-(1/2)y)]
;)(T>0)=P*R*E[(4x+1)/5]*E[(3y+1)/5]*[50y-9999]

Problème : - l'utilisation de la fonction valeur entière me paraît un peu trop complexe à manier ensuite, n'y aurait-il pas autre chose à faire?
- ici j'ai aussi compter les termes négatifs alors que je ne voulais que les positifs, comment faire? Passer par les complexes ? :mur:

J'espère ne pas vous avoir endormis

Merci de votre aide :lol3:

[Laos]

Je me rends bien compte que mon premier message n'était pas compréhensible donc je reformule avec du Latex :

Je cherche bien un calcul explicite, un résultat qui serait fonction de x et y

Je cherche à calculer la somme suivante :


P et R constantes, x et y des réels positifs

Mais deux conditions sont imposées :
- ne doit être sommé que les termes positifs, ce qui équivaut donc aux combinaisons $i\times j$ pour lesquelles $i\times j$<10 000 mais je ne sais pas comment inclure cette conditions dans le calcul
- i et j doivent être des multiples de 5 donc on les arrondis aux multiples de 5 le plus proche
ex:si x=11, alors l'intervalle de i devient : i=[80;120]

Merci d'avance

[deltab]

Bonsoir

Je me rends bien compte que mon premier message n'était pas compréhensible donc je reformule avec du Latex :

Je cherche bien un calcul explicite, un résultat qui serait fonction de x et y

Je cherche à calculer la somme suivante :


P et R constantes, x et y des réels positifs

Mais deux conditions sont imposées :
- ne doit être sommé que les termes positifs, ce qui équivaut donc aux combinaisons $i\times j$ pour lesquelles $i\times j$<10 000 mais je ne sais pas comment inclure cette conditions dans le calcul
- i et j doivent être des multiples de 5 donc on les arrondis aux multiples de 5 le plus proche
ex:si x=11, alors l'intervalle de i devient : i=[80;120]

Merci d'avance

C'est plutôt d'un algorithme et d'un programme informatique dont tu as besoin.
Pour le problème des multiples de 5, on trouve les bornes de sommation en tant que multiple de 5 qu'on ramène à leurs quotients par 5 ([80;120] devient [16;24]. Faire la même chose pour l'autre indice.
Précision:
1) C'est les bornes seulement de sommation qui doivent être des multiples de 5 avec des pas de 1 ou c'est les bornes et les indices qui sont des multiples de 5, c'est ce que je vais traiter.
2) x et y sont des réels positifs, les indices i et j peuvent-ils prendre des valeurs négatives, la valeur 0, si i et j sont de signes opposés, la condition est alors automatiquement vérifiée.

La somme

s'écrit



Le problème du pas de 5 dans la sommation que tu as donnée est ramené à un pas de 1 dans les sommations que j'ai données . La condition que
tu t'es imposée devient alors: dans

En ajoutant cette condition, on peut alors écrire:



Remarque: Si i=0 ou j=0, le terme à ajouter devient

[deltab]

Bonjour

En faisant sortir PR, on obtient



On peut exprimer et en utilisant la fonction partie en posant:

, ,

, , au fait c'est 100+y ou 100+2y

Les valeurs seront des valeurs par défaut, à modifier légèrement pour avoir les valeurs les plus proches

[Laos]

Bonjour,
Merci pour ta réponse!
Ce sont bien à la fois bornes et indices qui sont multiples de 5, par contre i et j ne peuvent prendre des valeurs négatives ni nulles.

J'ai appliqué ce que tu m'as conseillé et ça m'a bien avancée!

Mais je ne vois pas comment m'en sortir dans la manipulation des bornes de j :
car équivaut à ce qui constitue donc notre nouvelle borne supérieure
La somme devient donc

De ce fait si on veut calculer ou encore après avoir éclater la somme, on se retrouve avec qui n'est pas "calculable"...

Je l'ai donc remplacé par son équivalent en soit puis-je faire ça et est-ce judicieux ? :hein:

Merci

[Laos]

C'est plutôt d'un algorithme et d'un programme informatique dont tu as besoin.

Un programme informatique type excel peut faire ça? (somme double, bornes variables, puis finalement afficher le résultat sous forme d'équation en fonction de x et y et non un réel)

[deltab]

Bonjour,
@Laos

La somme devient donc

essaies de comprendre c'est quoi la double somme telle qu'elle est écrite (Ne l n'éclates surtout pas en 2), tu verras qu'il y a des réponses que tu peux toi-même apporter

Ce sont bien à la fois bornes et indices qui sont multiples de 5, par contre i et j ne peuvent prendre des valeurs négatives ni nulles.

C'est un détail technique, si , on prendra et si ,

après avoir éclater la somme, on se retrouve avec qui n'est pas "calculable"...

après avoir éclater la somme chose à ne faire.!!!!!!!!
et n'essaies pas de permuter les deux sommes.

qui n'est pas "calculable"

On n'a pas a calculer des sommes de séries mais des sommes finies

L'indice est assujetti à varier pour donné entre et et comme il est entier entre et et la somme devient et n'a de sens que si

[Laos]

essaies de comprendre c'est quoi la double somme telle qu'elle est écrite (Ne l n'éclates surtout pas en 2), tu verras qu'il y a des réponses que tu peux toi-même apporter


après avoir éclater la somme chose à ne faire.!!!!!!!!
et n'essaies pas de permuter les deux sommes.

Du coup j'ai essayé de l'écrire sous forme développée (ensemble des combinaisons i*j) :


Ce qu'on remarque c'est que le dernier terme s'annule, on peut donc arrêter la borne de j à l'avant dernier terme . Mais ça ne m'avance pas à grand chose...

On voit aussi apparaître la somme des 1 mais tu m'as déconseillé de scinder la somme donc cette observation ne me sert à rien...

Les intervalles de i et j étant centrés sur 20 (même si ça n'est pas tout à fait centré pour j), alors forcément les intervalles de i et j se recoupent, faisant apparaître des doublons dans la somme mais je ne sais pas les faire apparaître et surtout pas sûre que ce soit utile...

J'ai essayé d'encadrer la somme en partant de mais je vais pas bien loin... :triste:

En résumé j'ai besoin d'un indice!! :happy2:

[deltab]

[quote="Laos"]Du coup j'ai essayé de l'écrire sous forme développée (ensemble des combinaisons i*j) :
[/QUOTE

Que désigne pour toi les, etc...

Tu risques de t'embrouiller car le produit ij est assujetti à à varier entre et 400 vu que le problème: trouver tous les couples d'entiers tels , où n'est pas simple à résoudre, ne rend pas pas la somme plus simple à calculer.

Le fait que certains termes s'annulent provient du fait que si est entier, il est égale à sa partie entière, la dernière valeur valeur de sera égale à et et
Exemples:
Pour et

mais pour et .

On aurait pu éliminer ces termes nuls en prenant sauf si entier et dans ce cas prendre
Mais est-ce c'était nécessaire?

[Laos]

Que désigne pour toi les, etc...

Ca représente juste la suite de terme i et j sur leurs intervalles respectifs (i1=20-2/5x ; i2=20-2/5x+1 ; i3=20-2/5x+2 ;...;in=20+2/5x)

Mais cette somme est-elle vraiment résolvable? As-tu une solution?

[deltab]

Ca représente juste la suite de terme i et j sur leurs intervalles respectifs (i1=20-2/5x ; i2=20-2/5x+1 ; i3=20-2/5x+2 ;...;in=20+2/5x)

Mais cette somme est-elle vraiment résolvable? As-tu une solution?

Qu'entends-tu par résolvable?

Tu as un petit problème de notation.

Pour moi et désignent les valeurs initiales et finales de variation de l'indice, idem pour j_0 et j_1 sauf que j_0 correspond 20-2y/5 et j_1 =min(A,B) avec A correspond à 20+y et B =E(400/i) pour i fixé (revoir cette partie, j'ai pris directement j_1=B)

Pour toi, et correspondent à la même valeur , tu devrais écrire, même chose pour j

Du coup j'ai essayé de l'écrire sous forme développée (ensemble des combinaisons i*j) :
1-\frac{i_0j_0}{400}+1-\frac{i_0j_1}{400}+1-\frac{i_0j_2}{400}+...+0+1-\frac{i_1j_0}{400}+1-\frac{i_1j_1}{400}+1-\frac{i_1j_2}{400}+...+0+1-\frac{i_2j_0}{400}+1-\frac{i_2j_1}{400}+1-\frac{i_2j_2}{400}+...+0+...

x et y étant donnés, on commence en premier par trouver les 2 bornes que j'ai notées i_0 et i_1.
Comme ij 20-2y/5 ,(20-2/5y prête à confusion) et le minimum des valeurs A->20+y/5 et B=400/i, A est imposé dans la 1ére somme écrite et la 2ème provient de 1-ij/400 >0.

et fais un effort pour comprendre!

[deltab]

Bonjour.

Je vais te donner sous forme algorithmique la méthode de calcul de la somme
.................(valeur entière la plus proche)
X1=20+2x/5
I_1=E(X1) ..................................................(valeur entière approchée par défaut de X1)
Si X1-E(X1)>0.5, I_1=E(X1)+1.......................(valeur entière la plus proche)
Y0=20-2y/5
J_0=E(Y0) ..................................................(valeur entière approchée par défaut de Y01)
Si J_00.5, J_0=E(Y0)+1.................(valeur entière la plus proche)
Y1=20+y/5
A=E(Y1) ..................................................(valeur entière approchée par défaut de Y1)
Si Y1-E(Y1)>0.5, A=E(Y1)+1.......................(valeur entière la plus proche)
* on aura besoin ce cette valeur pour calculer J_1(i) la somme [quote]\sum_{j_0 \le j \le j_1,ij= J_0
Faire pour j variant de J_0 à J_1
S = S +(1-(ij/400))
[COLOR=Blue]*sinon la somme [TEX] \sum_{j_0 \le j \le j_1,ij<400} \text{ } \left( 1-\frac{ij}{400} \right)"/> n'a aucun sens (somme vide)

4) Tenir compte du facteur PR
S = PR x S

Remarque:
Les lignes commençant par (*) même en retrait sont des commentaires de même pour ce qui suit des points de suspension, tiens, je vais reprendre et écrire les commentaires en bleu

Il est clair que je n'ai pas écrit un algorithme mais une forme algorithmique pouvant être transcrite en terme d'algorithme (syntaxe et vocabulaire (commande, instruction)) ou directement transcrite dans un langage de programmation

OUF!, ça a été long d'écrire

[deltab]

Petite erreur de balises

* on aura besoin de cette valeur pour calculer dans la somme , voir significatiion de plus bas