Série à termes positifs.

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

série à termes positifs.

par webosfredo » 06 Mar 2018, 21:58

Bonjour à tous.
j'ai un sujet de TD sur les séries qui me donne du fil à retordre.

trois séries à termes positifs sont proposées.
Il faut étudier leur nature en utilisant les critères d'équivalence ou de comparaison

a)

b)


c)

Pour les deux premières j'ai tenté une rédaction .
Pour la troisième j'ai tenté d'une part de trouver l'équivalence avec le fonction exponentielle en utilisant la formule d'Euler sans succès. Je me demande s'il ne faut pas utiliser la méthode de comparaison avec une intégrale...

Image

Image



pascal16
Membre Légendaire
Messages: 6663
Enregistré le: 01 Mar 2017, 14:58
Localisation: Angoulème : Ville de la BD et du FFA. gare TGV

Re: série à termes positifs.

par pascal16 » 06 Mar 2018, 22:29

on a pas : sin(pi/2^n) < pi/2^n

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 06 Mar 2018, 23:44

Merci Pascal.
Je ne connaissais pas cette propriété.
Elle m'est d'un grand secours puisque maintenant je peux utiliser le critère de Cauchy.
.

Est-ce ce que tu me conseilles ?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: série à termes positifs.

par Lostounet » 06 Mar 2018, 23:50

Le critère de Cauchy pour une série géométrique? Pas besoin! Pi/2^n sont une suite géométrique de raison 1/2 de premier terme pi.

Par contre, il faut faire attention au théorème de comparaison utilisé qui exige des séries à termes positifs.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 07 Mar 2018, 00:09

Merci lostounet..
c'est évident .!!!
Je ne l'avais pas vu ! :rouge:

Et pour les deux premiers , c'est valable ce que j'ai écrit ?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: série à termes positifs.

par Lostounet » 07 Mar 2018, 00:20

Il y a des petites questions que je voudrais te poser: que ferais-tu par exemple si pour le premier exemple il y avait racine de (n^2-3) par exemple ? Tu ne pourrais pas dans ce cas poser m=polynôme en n car u(m) ne serait pas bien définie... quand n =0,1,2,3, m= -3, -2,1,6 les changements de variable "dans une suite" ce n'est pas très courant..


Par contre tu peux dire que tu réindexes les termes (sous entendu que le changement de variables sera un simple décalage sur N), ce qui est valable. Il faudra alors faire attention aux indices de sommation. La somme sur n débutera de 0 alors que celle sur m débutera de 3.

Avez-vous vu les équivalents ? C'est bien plus rapide. Ça m'étonne que tu penses à Cauchy et d'Alembert avant la comparaison aux séries de Riemann ou géométriques. La règle de d'Alembert est parfois appelée "comparaison à une série géométrique". Donc si on peut le faire directement...

Je vais relire ce que tu as écrit.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

Re: série à termes positifs.

par mathelot » 07 Mar 2018, 00:32

webosfredo a écrit:Merci lostounet..
c'est évident .!!!
Je ne l'avais pas vu ! :rouge:

Et pour les deux premiers , c'est valable ce que j'ai écrit ?



pour la 2 , ta majoration par 1/2 est fausse.
Par contre,


webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 07 Mar 2018, 09:15

puisque la deuxième partie de mon expression tend vers 1 par valeur inférieure je peux donc affirmer que 1/x^2 est plus grand c'est ça?

Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: série à termes positifs.

par Lostounet » 07 Mar 2018, 18:16

webosfredo a écrit:puisque la deuxième partie de mon expression tend vers 1 par valeur inférieure je peux donc affirmer que 1/x^2 est plus grand c'est ça?


C'est assez flou...? Qui tend vers 1 ? C'est quoi ce "x" qui n'a rien à voir avec des séries... indexées sur N!

En fait pour majorer une fraction, tu dois partir du constat de base suivant: une fraction est d'autant plus grande que son numérateur est grand et son dénominateur est petit. On doit donc "majorer le numérateur" et "minorer le dénominateur"

Plus précisément, . On majore le numérateur:

Comme , et que nln(n) est un nombre positif quel que soit n dans N*, cela signifie que n^2 est plus petit que n^2 auquel on aurait ajouté un nombre positif nln(n):


Cela veut dire finalement pour tout n dans N*. On conclut par le critère de Riemann.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 08 Mar 2018, 00:32

Merci pour ta patience Lostounet.

Tout d'abord je dois effectivement admettre que ma rédaction manque de précision..




Pour ce qui concerne l'expression qui tend vers 1 à l'infini je faisais référence au terme de droite obtenu après factorisation par 1/n^2....
je récapitule mon raisonnement....





Le terme de droite:
tend vers 1 par valeur inférieure quand n va à l'infini...
(je veux dire qu'il est toujours plus petit que 1 puisque )

c'est pour cela qu'on peut majorer la série


Maintenant je peux conclure par le critère de Riemann..

Je vais garder ton commentaire
En fait pour majorer une fraction, tu dois partir du constat de base suivant: une fraction est d'autant plus grande que son numérateur est grand et son dénominateur est petit. On doit donc "majorer le numérateur" et "minorer le dénominateur"
. Il me sera bien utile !

Avatar de l’utilisateur
mathelot
Habitué(e)
Messages: 13688
Enregistré le: 08 Juin 2006, 09:55

Re: série à termes positifs.

par mathelot » 08 Mar 2018, 00:57

on n'a pas besoin de factoriser par n au dénominateur pour majorer le quotient:


Avatar de l’utilisateur
Lostounet
Admin
Messages: 9665
Enregistré le: 16 Mai 2009, 13:00

Re: série à termes positifs.

par Lostounet » 08 Mar 2018, 01:02

webosfredo a écrit:Merci pour ta patience Lostounet.

Tout d'abord je dois effectivement admettre que ma rédaction manque de précision..

Ce n'est pas une mauvaise rédaction, au contraire tu essayes de donner tous les arguments ! Ce qui est bien.

Par contre, l'argument que tu avances ici est assez étrange.

Certes, converge vers 1 par valeurs inférieures, mais cet argument n'a pas sa place ici, pour plusieurs raisons.

1) La première raison est que la méthode pour laquelle tu as opté est celle de la majoration par une série convergente. Les théorèmes de majoration requièrent de majorer les termes de la série (pour tout n ou au moins pour n assez grand). On ne se soucie pas vraiment de leurs comportements "à l'infini": une fois qu'on a majoré par un terme dont la série converge, c'est fini.

2) Si tu avais opté pour une méthode en "regardant comme quoi se comporte le terme général de la série à l'infini", ce qui pourrait se faire par exemple en prenant un équivalent du terme général (ou bien "petit o ou grand O" si tu les as vus), alors là tu pourrais effectivement dire que

3) D'ailleurs, le fait que ça converge vers 1 par valeurs inférieurs est ici anecdotique !
La série de terme général suivant est convergente:
Ton argument ici n'est pas valable: . Le terme de droite converge vers 35 par valeurs inférieurs... et pourtant la série converge. (Je voudrais juste être sur que tu ne confonds pas avec un "1" d'une autre méthode).

Je préfère insister dans le doute, peut-être que tu le sais déjà.
Merci de ne pas m'envoyer de messages privés pour répondre à des questions mathématiques ou pour supprimer votre compte.

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 12 Mar 2018, 14:52

Bonjour à tous..
Je reviens sur le sujet des natures de séries à termes positifs avec ce problème...(ex 8)
Image

Dans ma rédaction j'ai tenté de majorer ce terme:
Alors que la prof à directement utilisé l'équivalence avec
Cela sous entend-il que on peut dans ce cas utiliser l'équivalence en prenant en compte systématiquement le terme de plus haut degré ?

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: série à termes positifs.

par Ben314 » 12 Mar 2018, 15:23

Salut,
Si un jour de concours (ou d'exam) tu écrit une énormité du style , tu peut être (quasiment) sûr que c'est le 0 assuré à la question, quoi que tu ait écrit d'autre.
Le niveau zéro de la compréhension de ce qu'est une limite, ben c'est quand même de voir que, si dans une expression donnée on fait tendre n vers l'infini, alors le résultat (c'est à dire la limite) ne dépend plus de n.

A un niveau plus "basique", c'est exactement comme si un élève de collège à qui tu demande de résoudre l'équation 3X+5=7 te disait que la solution c'est 2X-5 ou n'importe quoi d'autre qui contient le symbole X : ça n'a évidement pas le moindre sens.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 12 Mar 2018, 15:47

merci Ben ... L'abus d'exos de math nuit à ma santé.? (surtout entre 22h et 0h00.
en ce cas apres j'aurais dû écrire que était équivalent à 1/n pour n tendant à l'infini..?
Sinon ma question précédente était relative à l'exercice 8.. celui avec le parametre a
Modifié en dernier par webosfredo le 12 Mar 2018, 15:56, modifié 1 fois.

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: série à termes positifs.

par Ben314 » 12 Mar 2018, 15:55

webosfredo a écrit:...en ce cas j'aurais dû écrire que était équivalent à 1/n pour n tendant à l'infini..?
Oui, voire même si on veut vraiment être pointilleux :
La suite est équivalente à la suite lorsque n tend vers l'infini.
c'est pas les nombres Un et 1/n qui sont "équivalent" (vu que ça veut rien dire que deux nombres sont équivalents), mais les suites correspondante.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

webosfredo
Membre Naturel
Messages: 20
Enregistré le: 17 Oct 2017, 00:39

Re: série à termes positifs.

par webosfredo » 12 Mar 2018, 15:58

Merci Ben...
Tu es décidément trop rapide pour moi.

Fred

Avatar de l’utilisateur
Ben314
Le Ben
Messages: 21483
Enregistré le: 11 Nov 2009, 23:53

Re: série à termes positifs.

par Ben314 » 12 Mar 2018, 16:05

Concernant l'exo 8,
- C'est bien de visualiser que a=1 constitue un cas particulier (donc à traiter "à part").
- C'est pas con de penser à majorer/minorer la suite (pour les suites à termes positifs, c'est très souvent ça le plus simple) et l'inégalité obtenue, à savoir Un > 1/n^2 est valable (pour n "suffisamment grand")
- Ensuite, effectivement, la série des 1/n^2 (n>=1) est convergente (série de référence).
- Par contre, ensuite, c'est PERDU : une série dont le terme général est PLUS GRAND que celui d'une série convergent, ben tu risque évidement pas d'en déduire grand chose. Par exemple toute série à terme positif à un terme général plus grand que 0, la série de terme général 0 est évidement convergente et ça implique évidement absolument rien concernant la convergence de la série de départ.
Bref, il faut quand même un peu réfléchir (et ne surtout pas "apprendre par cœur" ce type de truc vvu que c'est qusi certain que tu va t'embrouiller) : une série à terme positif, clairement, les sommes partielles, elles sont croissantes. Donc y'a que deux cas de figure, soit elles sont majorées et la série converge, soit elle ne sont pas majorées et la série diverge.
Bilan : pour montrer qu'une série à terme positif converge, ben faut forcément MAJORER des trucs (soit le terme général de la série, soit les sommes partielles).

Bref, ça marche pas ton truc.
A mon sens, une fois que tu as , il faut commencer par y aller "à l'intuition" (c'est à dire pas trop formel) : n^2-2 si n est grand (style 10000), c'est à plus ou moins la même chose que n^2, donc U_n, c'est plus ou moins la même chose que 1/n^2 et on sait quela série de terme général 1/n^2 est convergente donc celle de terme général Un est sans doute convergente : reste à le vérifier "proprement".
Vu le laïus intuitif çi dessus, ben deux approches :
- Soit montrer que (Un) est équivalente (au sens mathématique du terme) à (1/n^2) voire à (Cst/n^2).
- Soit montrer que (Un) est majorée par (1/n^2) voire à (Cst/n^2) (ce qui est en général plus simple que de montrer une équivalence : pour majorer, souvent, on peut y aller "un peu avec des gros sabots" alors qu'un équivalent, c'est un truc "plus fin")
Là, les deux marchent: la suite (Un) est effectivement équivalente à (1/n^2) : facile à vérifier => fait le.
La suite (Un) n'est pas majorée par (1/n^2) (ça tu vient de le faire et... ça sert à rien), mais par contre, elle est effectivement majorée par (2/n^2) [pour n suffisamment grand] facile à vérifier => fait le.
Qui n'entend qu'un son n'entend qu'une sonnerie. Signé : Sonfucius

 

Retourner vers ✯✎ Supérieur

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 63 invités

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite