Concernant l'exo 8,
- C'est bien de visualiser que a=1 constitue un cas particulier (donc à traiter "à part").
- C'est pas con de penser à majorer/minorer la suite (pour les suites à termes positifs, c'est très souvent ça le plus simple) et l'inégalité obtenue, à savoir Un > 1/n^2 est valable (pour n "suffisamment grand")
- Ensuite, effectivement, la série des 1/n^2 (n>=1) est convergente (série de référence).
- Par contre, ensuite, c'est PERDU : une série dont le terme général est PLUS GRAND que celui d'une série convergent, ben tu risque
évidement pas d'en déduire grand chose. Par exemple toute série à terme positif à un terme général plus grand que 0, la série de terme général 0 est évidement convergente et ça implique évidement absolument rien concernant la convergence de la série de départ.
Bref, il faut quand même un peu réfléchir (et ne surtout pas "apprendre par cœur" ce type de truc vvu que c'est qusi certain que tu va t'embrouiller) : une série à terme positif, clairement, les sommes partielles, elles sont croissantes. Donc y'a que deux cas de figure, soit elles sont
majorées et la série converge, soit elle ne sont pas majorées et la série diverge.
Bilan : pour montrer qu'une série à terme positif converge, ben faut forcément MAJORER des trucs (soit le terme général de la série, soit les sommes partielles).
Bref, ça marche pas ton truc.
A mon sens, une fois que tu as
, il faut commencer par y aller "à l'intuition" (c'est à dire pas trop formel) : n^2-2 si n est grand (style 10000), c'est à plus ou moins la même chose que n^2, donc U_n, c'est plus ou moins la même chose que 1/n^2 et on sait quela série de terme général 1/n^2 est convergente donc celle de terme général Un est sans doute convergente : reste à le vérifier "proprement".
Vu le laïus intuitif çi dessus, ben deux approches :
- Soit montrer que (Un) est
équivalente (au sens mathématique du terme) à (1/n^2) voire à (Cst/n^2).
- Soit montrer que (Un) est
majorée par (1/n^2) voire à (Cst/n^2) (ce qui est en général plus simple que de montrer une équivalence : pour majorer, souvent, on peut y aller "un peu avec des gros sabots" alors qu'un équivalent, c'est un truc "plus fin")
Là, les deux marchent: la suite (Un) est effectivement équivalente à (1/n^2) : facile à vérifier =>
fait le.
La suite (Un)
n'est pas majorée par (1/n^2) (ça tu vient de le faire et... ça sert à rien), mais par contre, elle est effectivement majorée par (2/n^2) [pour n suffisamment grand] facile à vérifier =>
fait le.