Nobre premiers entre eux

par **nadiya13** » 13 Fév 2006, 15:37

bonjour dans mon dm, je ne arrive pas montrer que r et s sont premiers entre eux
Montrer quil existe r et s entiers premier entre eux tel que d/r²+s² et que le quotient q de r²+s² par d soit strictement inférieur à d, si d>2.

par **redwolf** » 13 Fév 2006, 16:01

Bonjour.

Il faudrait préciser un peu le contexte, parce que tel quel, on ne peut pas répondre à ta question.

Au revoir.

par **nadiya13** » 13 Fév 2006, 16:40

je ne comprend pas la question 2.
Le but est montrer que si n=a²+b² avec (a,b)premier entre eux et si d /n, alors d est aussi une somme de 2 carrés
1) vérifiez ceci sur quelque exemple
2) dans les hypothèses ci- dessus, soit d un diviseur de n.
Montrer quil existe r et s entiers premier entre eux tel que d/r²+s² et que le quotient q de r²+s² par d soit strictement inférieur à d, si d>2.
3) montrer qu alors, il existe c et e premiers entre eux tel que q/c²+e² que le quotient de c²+e² par q, noté f, soit strictement inférieur à q , si q>2et que re-sc soit divisible par q aussi que rc+se.
4) en déduire quil existe a1 et b1 premier entre eux, tel que d/a1+b1, le quotient a1+b1 par d étant strictement inférieur à q.
5) en deduire que d ou 2d de la forme k²+l², k e tl premières entre eux

par **yos** » 13 Fév 2006, 17:14

Il n'y a pas un truc avant où on montre que les entiers somme de deux carrés ont une déc en facteurs premiers bien particulière??

par **nadiya13** » 13 Fév 2006, 17:40

non avant j'ai I)
I) 1) montrer que pour tout couple (u,v) appartient N* N*,il existe z et w tel que u=vz+w , lwl<= lvl/2 z,w entiers
2)soit a et b 2 entier donnés et d appartient N*montrer quil exsite r et s premiers entre eux et un entier t tel que :
a=dk+tr , ltrl<=d/2
b=dk+ts ltsl<=d/2 ket k entiers
3) factoriser la quantité (rb-sa)²+(ra+sb)²

par **yos** » 13 Fév 2006, 18:02

n=a²+b²=(dk+tr)²+(dk'+ts)²=d(...)+t²r²+t²s²
Donc si d|n, alors d|t²r²+t²s².
Reste à prouver que d est p^remier à t (donc à t²) pour appliquer le lemme de Gauss. Ca vient du fait qu'un diviseur commun de d et t diviserait aussi a et b; or a et b sont premiers entre eux.

par **nadiya13** » 13 Fév 2006, 18:14

mais je ne compren pas comment montrer r et s premers entre eux
Montrer quil existe r et s entiers premier entre eux tel que d/r²+s² et que le quotient q de r²+s² par d soit strictement inférieur à d, si d>2.
est ce que pgcd(s,d)=1 et pgcd(r,d)=1justifie r et s premiers entre eux

par **yos** » 13 Fév 2006, 20:11

Je t'ai montré précédemment que d|r+s².
r et s sont premiers entre eux car si un entier m les divisait tous les deux, il diviserait d et par suite, il diviserait a et b, dionc m=1.

par **nadiya13** » 14 Fév 2006, 11:15

merci beaucoup j'ai reuissit à repondre au premiere question
5) en déduire que d ou 2d de la forme k²+l², k et l premières entre eux

par **yos** » 14 Fév 2006, 11:39

Salut.
Hier j'ai répondu trop vite dans le dernier message : en fait r est s sont premiers entre eux car on l'a prouvé dans la partie 1.
Il est essentiel de voir que la partie 2 (question 2) se fait avec la partie 1 (question 2).
L'égalité n=a²+b²=(dk+tr)²+(dk'+ts)²=d(...)+t²r²+t²s² que j'ai écrite utilise les écritures de a et b obtenues dans cette partie 1.

As-tu compris pourquoi d|r²+s² ?

Pour la fin de la question 2 : r²+s²=dq. Si on avait q>=d, alors on aurait r²+s²>=d², donc t²r²+t²s²>=t²d²>=d² (en effet t est non nul, sinon d diviserait a et b, ce qui ne se peut pas car d>2 et a étranger à b). L'inégalité t²r²+t²s²>=d² est impossible car |tr[<d/2 et |ts|<d/2. D'où la contradiction et donc le fait que q<d.

par **nadiya13** » 14 Fév 2006, 14:25

bonjour merci beaucoup por votre reponse j'ai reuissit la question 2)
je fais 3) question je voulais savoir si c'est bon
ii- 3)montrer qu alors, il existe c et e premiers entre eux tel que q/c²+e² que le quotient de c²+e² par q, noté f, soit strictement inférieur à q , si q>2et que re-sc soit divisible par q aussi que rc+se.
reponse :dans I-3) il faut factoriser (re-sc)²+(rc+se)²
je trover (re-sc)²+(rc+se)²=(r²+s²)(c²+e²).
or c²+e²=((re-sc)²+(rc+se)²)/(r²+s²)
or c²+e²=qf
qf==((re-sc)²+(rc+se)²)/qd
donc (re-sc) et (rc+se)sont divisible par q

par **yos** » 14 Fév 2006, 15:07

Ben je crois que c'est pas bon.
La factorisation de la partie 1, question 3 est OK.
Mais ensuite je crois que tu dois réappliquer le résultat obtenu pour (a,b,d) au triplet (r,s,q) car on a les mêmes hypothèses pour ce second triplet.

A la fin, ton calcul montre que q (et même q²) divise (r²+s²)(c²+e²), donc il divise (re-sc)²+(rc+se)². Mais on ne peut pas en déduire directement que q divise chacun des deux termes. Je dois rater quelquechose. Si j'ai le temps je regarderai ce soir.
A moins qu'un autre se dévoue?

par **redwolf** » 15 Fév 2006, 09:49

Bonjour.

Pour la question 3), il faut tout écrire explicitement :
Comme

,

et

vérifient les mêmes hypothèses que

,

et

dans la question précédente, on peut écrire

et

avec

qui vérifient toutes les bonnes hypothèses. On a alors:

qui est bien un multiple de

et

qui est un multiple de

car

.

Je passe à la question 4).

A bientôt

par **redwolf** » 15 Fév 2006, 10:40

Voilà,

La question 4) telle que tu l'as écrite ne convient pas. Il faut sans doute lire :

4) En déduire qu'il existe

et

premiers entre eux, tels que

, le quotient de

par

étant strictement inférieur à

.

D'après la question 3), on peut écrire :

et

. La factorisation du I3) peut maintenant s'écrire:

.

En simplifiant par

, on obtient

, ce qui prouve à la fois que

et que le quotient (c'est-à-dire

) est strictement inférieur à

.

Reste à voir que

et

sont bien premiers entre eux, mais je n'y arrive pas pour l'instant.

A+

par **nadiya13** » 15 Fév 2006, 20:09

merci beaucoup pour votre reponses
j'ai reuissit à demontrer a1 et b1 sont premiers entre eux mais bloqué dans 5eme question je n'est pas bien compis la question
5) en déduire que d ou 2d de la forme k²+l², k et l premier entre eux
vous pouvez donner des idées pour repondre 6éme question
6)en utilisan t héridité l²+k²=2(((k+l)/2)²+((k-l)/2)²)
montrer que d est une somme de 2 carrés
merci beaucoup pour aide

par **redwolf** » 15 Fév 2006, 23:53

Bonsoir.

Peux-tu me donner ta démonstration de

et

premiers entre eux ? J'ai vraiment séché sur cette question.

Pour la question 5) on se sert de ce qui précède : parmi tous les nombres

que

divise (avec

et

premiers entre eux), tu en prends un qui rend le quotient

minimal. Si

, la question précédente nous montre qu'on peut trouver

et

tels que le quotient

soit strictement plus petit que

. Ceci contredit la minimalité supposée de

.

On en déduit que

ou

. Dans le premier cas, on a

et dans le deuxième, c'est

.

Voilà et peut-être à plus tard pour la question 6) (que je n'ai pas bien comprise à la première lecture (as-tu recopié exactement les mots de l'énoncé ?)).

par **nadiya13** » 16 Fév 2006, 13:37

Bonjour
jai montrer a1 et b1 sont premier entre eux en utilisant question 2 d/r²+s² et d/a1+b1 donc jai appliqué le même règle à a1 et b1 donc :
a=dj1+ta1
b=dj2+tb& puis je pose x=a1t et y=b1t
t=pgcd(x,y)
t=pgcd (ta1, tb1)
t=tpgcd(a1,b1)
1=pgcd(a1,b1)
donc a1 et b1 sont premier entre eux
pour la question 6 jai écrit ce qui est donné dans lénoncé .
merci beaucoup pour votre réponses aux questions précédant

Nobre premiers entre eux

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