Un gâteau récalcitrant

[Imod]

Un problème que je trouve assez fantastique :doh:

On prend un gâteau de forme cylindrique avec un glaçage au dessus et on choisit un angle â au hasard . On coupe une part du gâteau dont le sommet est au centre du gâteau et dont l'angle est â , on la retourne avant de la réintégrer dans le gâteau . A la suite de la première part on coupe une nouvelle part toujours d'angle â , on la retourne et on la réincorpore au gâteau , ainsi de suite ... Montrer qu'après un nombre fini de manœuvres le gâteau retrouvera tout son glaçage au dessus .

Amusez-vous bien :zen:

Imod

[nodjim]

Bonsoir Imod.
ça mérite une petite précision: une part peut elle être elle même coupée en partie par une autre part ? ou sont ce des parts bien distinctes ?

[Imod]

On considère que le gâteau est vraiment reconstitué après réintroduction de la part ( il ne reste plus de trace de la coupure ) et donc pour répondre à ta question les parts peuvent se superposer :zen:

Imod

[nodjim]

D'accord, bien compris.
j'ai comme une idée comme ça qu'il ne va pas être bien digeste celui là :hum:

[Imod]

D'accord, bien compris.
j'ai comme une idée comme ça qu'il ne va pas être bien digeste celui là :hum:

Je confirme :we:

Imod

[nodjim]

Bien sûr, et ceci est une autre réflexion spontanée, il faudra tout de même que le hasard fasse bien les choses. Il faut par exemple admettre que lorsqu'on a sélectionné une part, le "hasard" fera qu'à un moment ou à un autre on reviendra sur cette part. C'est déja un obstacle à franchir. Peux tu nous éclairicir sur ce point ?

[Imod]

Quand je dis "à la suite de la première part on coupe une nouvelle part toujours d'angle â ..." , je veux dire que la deuxième part commence là où finit la première , ainsi de suite ... Donc seule la première part est choisie au hasard .

Imod

[nodjim]

D'accord, compris.
Donc, si je comprends bien, si c'est écrit "Joyeux Anniversaire" sur le dessus, on retrouvera au bout d'un certain nombre de retournements cette inscription à son état initial ? C'est bien ça ?

[Imod]

Pas tout à fait mais l'ensemble du message doit se retrouver sur le dessus du gâteau ( j'ai modifié le message initial pour clarifier ce point ) .

Imod

[Doraki]

Je vais tester avec un angle â = 1 radian.

[nodjim]

Je vais tester avec un angle â = 1 radian.

Oui, il y a bien la question de l'irrationnalité du rapport entre â et Pi. Mais si Imod n'en parle pas, c'est que ça doit aussi marcher dans ce cas là. N'oublions pas maintenant qu'il faut "seulement" retrouver l'intégralité du dessus du gâteau.

[Imod]

En effet curieusement "l'irrationalité" de l'angle ne change pas le résultat .


Imod

[Imod]

Un exemple avec un angle égal à .



Le trait rouge représente la dernière coupe . Après quatre retournement le gâteau a repris son allure initiale .

Imod

[nodjim]

Je me contenterai d'une description, car en effet c'est assez compliqué.

Soit le secteur S découpé par l'angle â.
On pose kS=2Pi+s, k entier, 0On donne un sens horaire au découpage du gâteau.
Blanc dessus, noir dessous, le gâteau change de couleur au fur et msesure du découpage.
Il noircit entièrement à l'achèvement du 1er tour, sauf pour le dernier secteur.
En effet, il y a recouvrement de secteur s entre le premier et le dernier secteur.
Ce s non seulement passe au blanc, mais en plus, du fait du retournement, recule à l'extrémité amont du dernier secteur.
Lorsque la découpe fera un autre tour complet, elle tombera juste sur la partie avale de ce s blanc, puisque ça correspond exactement au décalage sur un tour.
Donc à chaque tour de découpage, ce s aura un déplacement antihoraire de secteur S-s.
Mais la création de ce s se produit à chaque tour à la ligne de changement de couleur.
Il y a donc à chaque tour de découpe création d'un s supplémentaire de couleur différente du fond. Tous les s sont de la même couleur.
Mais comme ces s se déplacent dans le sens antihoraire, le 1er créé va au bout de k tours de découpe se trouver à la ligne de changement de couleur.
Il y aura alors effacement du s. A chaque tour on effacera un s seulement.
Au bout de 2k tours (hésitation sur le nombre exact) de découpe on reviendra au blanc intégral.

[Imod]

Je te lis et te réponds ce soir :livre:

Imod

[Imod]

J'ai un peu de mal à suivre ta pensée :mur:

Voilà un exemple avec un angle de 108° qui correspond à k=3 , je trouve 24 retournements . Comment décris-tu ces déplacements avec ta méthode ?



Imod

[nodjim]

Je n'ai pas toutes les réponses.
Ton dessin m'a fait corriger ma vitesse du déplacement antihoraire des secteurs bicolores: S-s. (J'avais pris un s trop petit).
Dans ma description, mon k vaut 4 pour 108°. 4*108°=432°=2PI+72°. s vaut donc dans ma théorie 72° et S-s :36°. Il y a bien un déplacement horaire de 36° des secteurs bicolores.
Je remarque que, pour ton exemple, tu as pris une division rationnelle du cercle, donc un cas particulier. C'est plus facile à lire, mais le raisonnement est indépendant de la rationnalité du rapport (angle-PI).Sinon, il y a bien création de 3 secteurs bicolores au 12ème dessin, tous identiques. Et, déja au 13ème dessin (ce que je n'avais pas vu dans ma description imaginaire), effacement du 1er secteur bicolore. Au 12ème dessin, on finit le cycle de création, au 13ème dessin on commence le cycle des effacements.

Pour le nombre exact de retournements, et à la lumière de ton dessin, j'avancerais le nombre de 2k(k-1). k retournements crée un secteur bicolore, on ne peut créer que k-1 secteurs bicolores, et autant de retournements pour les effacer.
Quel travail pour tous tes dessins! Magnifique. Mais au moins ça donne du corps à la théorie.

[Doraki]

On est pas obligé de comprendre exactement tous les effaxements/retournements et tout ce qui se passe pour donner une preuve qu'on retombe sur la configuration initiale.

[Imod]

On est pas obligé de comprendre exactement tous les effaxements/retournements et tout ce qui se passe pour donner une preuve qu'on retombe sur la configuration initiale.

Certes , mais il faut quand même trouver un moyen de suivre ou contrôler les différents déplacements et retournements :zen:

Imod

[nodjim]

Je supposais une symétrie quelque part, le dessin d'Imod le montre clairement:
Au 12ème dessin, que l'on continue dans le même sens ou que l'on fasse demi tour, on obtiendra le même résultat. Et comme on sait ce qui se passe en marche arrière....