[sup] équation matricielle

[ghghgh]

Bonjour,
je ne sais comment m'y prendre avec l'exercice suivant :

D'abord il faut déterminer le rang de la matrice réelle
A=[1,2
2,4]
qui est 1 ...
Ensuite, deuxième question, soit n un entier naturel non nul. Résoudre l'équation
X^n = A où l'inconnue X est une matrice réelle carrée d'ordre 2.

Quel est le rapport avec la question précédente ? je ne vois pas le lien :s

merci d'avance pour tout conseils !

[emdro]

Bonjour,

Si rg(X)=2, alors X est inversible. aussi. Quel est le rang de ? Peut-on avoir ?

Si rg(X)=0, que peux-tu dire de X? Peut-on avoir ?

Normalement, tu vas pouvoir en déduire le rang de X, et donc, cela simplifie ton équation...

[ghghgh]

merci !
je crois avoir compris, et donc on obtient pour n entier non nul :
= [,
0, 0].
Avec a = 1 et b = 2.

car A étant de rg 1, on ne peut avoir X de rg 2, ni X^n, et a fortiori X^(-n).
si rg X = 0, alors X est la matrice nulle, et donc ne peut être égale à A, lorsque élevée à n'importe quelle puissance.

[emdro]

Attention, ce n'est pas parce qu'une matrice est de rang 1 que sa deuxième ligne est nulle! On sait simplement que la deuxième ligne est une CL de la première... ou l'inverse.

[ghghgh]

Ok. Donc, si j'ai bien compris, X s'écrit sous la forme
[a, b
k*a, k*b], où k est réel.
Avec , on obtient a = 1, b = 2.
Avec , on en déduit k = 0, mais pour
or avec k = 0, on trouve 0.

Je ne comprends pas d'où vient ce pb.

[emdro]

Es-tu en train de croire que la solution de X^n=A est la même quel que soit A?

A chaque n son équation et donc son ensemble de solution.

NB tu peux poser a,b;ka,kb mais il faut expliquer pourquoi. En effet, deux vecteurs sont liés si et seulement s'il existe lambda et mu (non tous les deux nuls) tels que:
On ne pourra écrire u=kv que si v est non nul.