Norme, formes bilinéaires

[mey]

Bonjour j'ai un exercice à propose des d'une forme bilinéaire et je n'arrive pas à résoudre une question :
On considère E un R-ev muni d'une norme || || vérifiant l'identité du parallélograme qui est la suivante :
||x+y||²+||x-y||²= 2 ( ||x||²+||y||²)
De plus on pose
p : ExE-->R
(x,y)-->(1/2)(||x+y||² -||x||² -||y||²)

On doit montrer que p est linéaire en fixant y. Cette question sur laquelle je bloque.
Je dois démontrer que
p(x)+p(x')=p(x+x')et que
p(ax)=ap(x) avec a un réel
je n'arrive pas à montrer la linéarité avec la norme, même en esseyant la formule donnée. Pourriez vous me mettre sur la piste svp?
Merci d'avance

[Maxmau]

Bj
Pour l’additivité, montre d’abord que :
||x+y+z||² = ||x+y||² + ||y+z||² + ||x+z||² - ||x||² - ||y||² - ||z||²

[mey]

Merci pour l'aide en partant du membre de droite j'ai reussi à retrouver le memebre d egauche grace a la formule du parallelogramme. Par contre je n'arrive pas à montrer la linéarité par multiplication avce un scalaire :s

[Maxmau]

||x+y+z||² + ||x+y-z||² = 2 ||x+y||² + 2 ||z||²
Puis -||x+y-z||² - ||x –y -z||² = -2 ||x - z||² - 2 ||y||²
Et ||x-y-z||² + ||-x-y-z||² = 2 ||-y-z||² + 2 ||x||²
Par addition et simplification par 2 :
||x+y+z||² = ||x+y||² - ||x - z||² + ||y+z||² + ||x||² + ||z||² - ||y||² (A)

Mais : ||x + z||² + ||x - z||² = 2 ||z||² + 2 ||x||²
Et donc -||x - z||² = ||x + z||² - 2 ||z||² - 2 ||x||²
En reportant cette dernière valeur de -||x - z||² dans (A) on obtient la relation souhaitée

Il y a sans doute plus simple….

[mey]

ok j'ai trouvé avec d'autres calculs mais à partir d ela même méthode. Maintenant je dois prouver que p(ax)=ap(x) et c'est là que je coince car d'un côté je me trouve avec un a en facteur et de l'autre lorsque je sors a de la norme ça donne des coefficients a² et là la formule du parallélogramme ne m'aide en rien :s

[Maxmau]

On a : p(2x) = p(x+x) = p(x) + p(x) = 2p(x)…..
Essaie de montrer que p(ax)=ap(x) pour a entier puis a rationnel
Puis a réel ( Q est dense dans R)