Forme bilinéaires et ensemble fermé

par **arttle** » 29 Sep 2009, 15:12

Bonjour

Soit Phi une forme bilinéaire symétrique continue sur un espace vectoriel normé E.
La question est de montrer que Ker_Phi est un sous-espace fermé.

Quelqu'un peut-il me mettre sur la bonne voie svp?

par **arttle** » 29 Sep 2009, 15:34

En fait je m'apperçoit que c'est pas seulement le fait que cela soit fermé qui me pose problème mais aussi le fait de parler de sous-espace fermé.
Car même si la notion d'ensemble fermé est encore brumeuse dans ma tête, le concept de sous-espace fermé est une expression qui ne me parle absoluement pas...

par **Nightmare** » 29 Sep 2009, 15:44

Salut !

sous-espace fermé sous-entendait que le noyau était un sous-espace vectoriel de E et fermé dans E (pour la topologie induite de la norme sur E).

Comment montrer qu'un ensemble est fermé ?

par **buzard** » 29 Sep 2009, 16:02

bjr,

utilise l'image réciproque par une fonction f continue. Sinon tu y'a la technique classique avec les boules de voisinages. ou encore la caractérisation par les suites.

par **arttle** » 29 Sep 2009, 16:12

Oki merci beaucoup pour l'explicitation.
L'utilisation de l'image réciproque est une bonne idée, je vais faire comme ça.

par **arttle** » 29 Sep 2009, 18:46

Merci beaucoup à tous pour votre participation.
Mais je vais vous mettre une dernière fois à contribution.
Je viens de terminer ma démonstration mais il me manque une justification.
J'utilise la fonction f:E->ExE qui à x associe (x,y)
E étant un espace vectoriel normé.
Puis-je dire que f est continue et pourquoi?

par **Nightmare** » 29 Sep 2009, 18:52

Salut !

Puisque ta fbs (.|.) est continue, on a l'existence d'un lambda tel que pour tout x et pour tout y,

En notant

, on a donc pour tout x,

ce qui implique sa continuité !

par **arttle** » 29 Sep 2009, 19:15

Merci beaucoup pour cette dernière précision :)

par **Nightmare** » 29 Sep 2009, 19:16

Je t'en prie :happy3:

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