Formes linéaires/formes differentielles

[SamAz]

Bonjour a tous.
Ca fait un certain temps que j'arrive pas a comprendre une certaine notion/nuance et j'ai meme du mal a formuler ma question ou a formuler ce qui me gene. je vais essayer de mon mieux.
quand on parle de forme lineaire sur un ensemble E, c'est une application lineaire de E dans R (en voyant E comme R-espace vectoriel). et l'ensemble E* est l'ensemble de toutes le formes lineaires sur E.
c'est bon jusque la.
je commence a me perdre quand on introduit les notations de differentielles pour les bases de E*, et on considere, par example, si E=R^2, donc une base de R^2* est {dx,dy}. pour moi, les dx et dy sont des quantites infiniment petites, donc je ne comprends pas comment une application lineiare de R^2* est exprimee en fonction des dx et dy, sauf si dans ce contexte ca ne veux plus dire differentielle mais juste une notation.
je comprends bien que dans le cas d'une differentielle df, on ecrit df=f'x.dx+f'y.dy , donc les f'x et f'y sont les "coodonnees" de df dans la base {dx,dy}. mais dans ce cas, df est une differentielle donc il est normal qu'elle s'exprime en fonction de differentielles (dx et dy). mais si on parle d'une f de E* Et non de "df", par exemple f(x,y)=x+y. comment ca aboutit que f=dx+dy? comment le passage d'une application lineaire en x et y a quelque chose avec les dx et dy? comment ca ne change pas le vrai sens de cette application? pourquoi par defaut on choisi dx, dy, qui sont des differentielles, comme base pour des applications lineiares qui n'ont rien a voir avec les differentielles? j'espere que ma question est clair. et je serait infiniment reconnaissant pour celui ou celle ci qui me fera comprendre cette nuance. merci

[tournesol]

tu ne peux pas utiliser deux fois une même variable avec des sens différents .
Pour f(x,y) = x+y , si on en reste là , tout est clair .
On peut sans nuire à la clarté utiliser les notations algébriques des formes coordonnées x* et y*
Pour ta forme , on peut l'écrire f=x*+y*
f(x,y)=x*(x,y)+y*(x,y)=x+y
mais si tu veux utiliser les notations dx et dy , et arrete de raconter que ce sont des quantités infiniment petites !
tu fréquentes trop les physiciens...
Alors il faut utiliser d'autres variables :
f=dx+dy donne f(h,k)=dx(h,k)+dy(h,k)=h+k

[SamAz]

donc une fois qu'on utilise dx et dy comme base, on n'est plus dans le cadre differentiel et ce "d" est juste une notation, et dx et dy ne sont rien d'autre que les formes canoniques 1ere et 2eme coordonnees, sans avoir rien en relation avec les dx et dy des differentielles. correct? (soyez patient avec moi, des jours j'ai le QI d'une clé. et merci pour votre aide)

[tournesol]

C'est pas qu'on est pas dans le cadre différentiel , c'est qu'on est pas en physique .
dx et dy ne sont pas des infiniment petits .
Dans mon premier message , je t'ai proposé une forme différentielle exprimée avec les formes coordonnées dx et dy .
Le vrai pb , c'est l'emploi de la lettre d ; prise toute seule , elle désigne la différentielle d'une fonction , c'est à dire la partie linéaire de son son approximation affine au voisinage du point (x,y).


On a :

Alors ? et dx , c'est la différentielle de x ?
Mais oui ! je pose g(x,y)=x

On vérifie : dx(h,k)=h et g(h,k)=h
Idem pour dy .
Les fonctions coordonnées sont égales à leurs différentielles .
Les deux aspects de dx sont donc confondus , et donc tout est cohérent .

Après , montres nous des exos ou des formules qui te posent des difficultés et on t'aidera .