[1S]Dérivation et optimisation

[Anonyme]

Bonjour,

Voila le problème que je n'arrive pas à résoudre,

ABCD est un carré AB=1, C est le cercle de rayon 1 et de centre D. T est un
point de l'arc de cercle AC, distinct de A et C. La tangente du cercle C
en T coupe [AB] en M et [BC] en N.
On se propose de résoudre le problème suivant:
Pour quelles positions de T la distance MN est elle minimale?
Pour cela on essaye d'exprimer MN en fonction de la variable x en posant
AM=x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul parait impossible à
priori. On introduit alors une autre variable y(on pose CN=y) en espérant
que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.

1.Démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2

Ici je n'ai pas eu de problèmes il suffit d'appliquer le théorème de
pythagore dans le triangle BMN.

2.Prouvez que MN=x+y et que MN²=(x+y)²

C'est ici que j'ai une difficulté, je n'arrive pas à prouver cela,car
si l'on devellope ou factorise la premiere formule du 1. on ne retombe
jamais sur une des deux formules différentes.
Pourriez vous s'il vous plait m'aider à trouver une solution?

Voici la suite du problème à titre indicatif.


3. Déduisez en que y=(1-x)/(1+x), puis que MN=(x²+1)/(x+1)
4.a) Dressez le tableau de variation de la foncition f:x-> (x²+1)/(x+1), x
compris entre 0 et 1.
b) Déduisez en que la distance MN est minimale lorsque x=racine(2)-1
5).Calculez y lorsque x=racine(2)-1
Déduisez en la postion de T pour laquelle distance MN est la distance
minimale.

Merci par avance

[Anonyme]

benjamin73fr écrivait :

> 2.Prouvez que MN=x+y et que MN²=(x+y)²
> si l'on devellope ou factorise la premiere formule du 1. on ne
> retombe jamais sur une des deux formules différentes.

Si si :
MN²= x²+y²-2x-2y+2
= (x²-2x+1) + (y²-2y+1)
= ???

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

(Désolé pour l'autre message (annulé), j'ai lu un peu trop vite.)

Bonjour,
benjamin73fr écrivait :
> 2.Prouvez que MN=x+y et que MN²=(x+y)²
> C'est ici que j'ai une difficulté, je n'arrive pas à prouver cela

Un dessin permet de voir que TM=AM=x et TN=NC=y.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel écrivait :

> Un dessin permet de voir que TM=AM=x et TN=NC=y.

Il suffit par exemple de voir que les triangles AMD et MDT sont
rectangles en A et T, avec les côtés AD et DT en commun et MD
confondu.
Que dire des derniers côtés AM et MT ?

--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

Michel a ecrit:

> Michel écrivait :
>[color=green]
>> Un dessin permet de voir que TM=AM=x et TN=NC=y.
>
> Il suffit par exemple de voir que les triangles AMD et MDT sont
> rectangles en A et T, avec les côtés AD et DT en commun et MD
> confondu.
> Que dire des derniers côtés AM et MT ?
>[/color]
Merci beaucoup pour votre réponse grace à laquelle j'ai réussi a répondre.
Voici ma réponse rapidement rédigée
On peut dire qu'ils sont de même distances car les triangles AMD ET MDT sont
isométriques. et que par conséquent AM=MT=x et par le même raisonnement on
en effectue de même avec NC et NT et on prouve que NT=y et comme MN= MT+TN
,MN=x+y.

[Anonyme]

3)



Selon 1) MN² = x² + y² -2x -2y +2 et selon 2) MN² = (x +y)² = x² +
y² + 2xy

En égalisant les 2 formules ci-dessus et en tirant y on obtient y = (1 -
x) / (1 + x)



4) a)



f(x) = (x² + 1) / (1 + x)

Dérivons :

f' = (uv)' = u'v + uv' avec u = x² + 1 et v = 1 /(1+ x)

on obtient f' = (x² + 2x - 1) / (x + 1)² le numérateur a pour
solutions -1 - R(2)


et - 1 + R(2)

seule la solution -1 + R(2) = R(2) - 1 est acceptable car l'autre est
négative (faut 0 a écrit dans le message de
news:3feeb687$0$7139$626a54ce@news.free.fr...
> Bonjour,
>
> Voila le problème que je n'arrive pas à résoudre,
>
> ABCD est un carré AB=1, C est le cercle de rayon 1 et de centre D. T est
un
> point de l'arc de cercle AC, distinct de A et C. La tangente du cercle C
> en T coupe [AB] en M et [BC] en N.
> On se propose de résoudre le problème suivant:
> Pour quelles positions de T la distance MN est elle minimale?
> Pour cela on essaye d'exprimer MN en fonction de la variable x en posant
> AM=x. Mais le calcul de MN en fonction de x seul parait impossible à
> priori. On introduit alors une autre variable y(on pose CN=y) en espérant
> que les calculs permettront d'exprimer y en fonction de x.
>
> 1.Démontrer que MN²=x²+y²-2x-2y+2
>
> Ici je n'ai pas eu de problèmes il suffit d'appliquer le théorème
de
> pythagore dans le triangle BMN.
>
> 2.Prouvez que MN=x+y et que MN²=(x+y)²
>
> C'est ici que j'ai une difficulté, je n'arrive pas à prouver
cela,car
> si l'on devellope ou factorise la premiere formule du 1. on ne retombe
> jamais sur une des deux formules différentes.
> Pourriez vous s'il vous plait m'aider à trouver une solution?
>
> Voici la suite du problème à titre indicatif.
>
>
> 3. Déduisez en que y=(1-x)/(1+x), puis que MN=(x²+1)/(x+1)
> 4.a) Dressez le tableau de variation de la foncition f:x-> (x²+1)/(x+1), x
> compris entre 0 et 1.
> b) Déduisez en que la distance MN est minimale lorsque x=racine(2)-1
> 5).Calculez y lorsque x=racine(2)-1
> Déduisez en la postion de T pour laquelle distance MN est la distance
> minimale.
>
> Merci par avance

[Anonyme]

Bonsoir,
benjamin73fr écrivait :
> On peut dire qu'ils sont de même distances car les triangles AMD
> ET MDT sont isométriques.

Oui, et il faut bien entendu le montrer.

Bon courage.
--
Michel [overdose@alussinan.org]

[Anonyme]

J'ai trouvé les mêmes résultats,
Merci à tous les deux pour votre aide.
a bientot.