3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

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Anonyme

3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

Ex1 : Déterminer parmi tous les rectangles ayant un périmètre fixé celui
dont l'aire est max.

(je vois bien que c'est un carré mais.)



Ex2 :Soit ABCDEFGH un cube. I tel que vecteur HI=vecteur DH, O le centre de
la face EFGH et soit M un pt de [BC].La droite (IM) coupe EFGH en N.

1) (ON) parallele a (BC) ?

2) En deduire l'ens des pts N qd M se deplace sur [BC]



Ex3 :Soit ABC un triangle et k un reel qcq. On appelle
Gk=Bar((A,k-4),(B,2k-4),(C,3k+2)) pour k different de 1.Lieu géométrique du
point G qd k varie dans R/1 ?

Je suis pas arrivé a simplifier l'ecriture.

Merci



Anonyme

Re: 3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

sasa a écrit :
> Ex1 : Déterminer parmi tous les rectangles ayant un périmètre fixé celui
> dont l'aire est max.
>
> (je vois bien que c'est un carré mais.)
>

C'est vrai. La méthode attendue en 1S est de noter x et y les
longueurs de deux cotés consécutifs et d'utiliser 2x + 2y = p (p est
donc une constante)pour exprimer l'aire xy seulement en fonction de x de
p. On termine par la recherche du minimum de la fonction de x obtenue.
Une autre méthode consiste à exprimer la longueur de deux cotés
consécutifs en fonction de p/4. L'une sera p/4 + x et l'autre p/4 - x,
l'aire du rectangle est alors (p^2)/16 - x^2 qui est maximale si, et
seulement si, x = 0.
René James

Anonyme

Re: 3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

On Fri, 03 Jun 2005 17:21:24 +0200, sasa wrote:

> Ex1 : Déterminer parmi tous les rectangles ayant un périmètre fixé celui
> dont l'aire est max.


Notons x la largeur de ton rectangle, L(x) sa largeur et P son périmètre
(constant), alors P = 2x + 2L(x), donc L(x) = P/2 - x.

Donner l'expression de l'aire a(x) du rectangle, quel est son domaine de
définition ?

Il s'agit alors de maximiser le trinôme du second degré a(x) pour x dans
le domaine. (Voir ton cours sur le second degré, ou sur la dérivation)

On trouve x = P/4, et donc L(x) = P/4, c'est bien un carré comme tu
l'avais prévu.

--
Michel [overdose@alussinan.org]

Anonyme

Re: 3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

Bonsoir,

On Fri, 03 Jun 2005 17:21:24 +0200, sasa wrote:

> (ON) parallele a (BC) ?


Après avoir fait un dessin correct, regarde par exemple l'image de
quelque points simples.

L'image du point B est clairement le point O (théorème de Thalès dans
le triangle IDB).
L'image de C est le milieu J de [HG] (Thalès dans le triangle IDC).

L'idée est de bien avoir à l'esprit le triangle balayé par IM lorsque M
décrit [BC]. De fait :
M est dans le plan (IBC) et I est dans le plan (IBC),
donc la droite (MI) est incluse dans le plan (IBC),
mais comme N appartient à (MI), N appartient à (IBC).

Mais N appartient aussi au plan (EFG) de la face EFGH, l'intersection des
plans (EFG) et (IBC) contient donc le point N,
mais cette intersection est une droite (les deux plans sont sécants),
entièrement déterminée par deux points en l'occurence O et J d'après
la remarque plus haut, et (OJ) // (BC) permet alors de conclure.

> En deduire l'ens des pts N qd M se deplace sur [BC]


Montrer que c'est le segment [OJ]

--
Michel [overdose@alussinan.org]

Anonyme

Re: 3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

On Fri, 3 Jun 2005 17:21:24 +0200, "sasa"
wrote:


>Ex3 :Soit ABC un triangle et k un reel qcq. On appelle
>Gk=Bar((A,k-4),(B,2k-4),(C,3k+2)) pour k different de 1.Lieu géométrique du
>point G qd k varie dans R/1 ?
>
>Je suis pas arrivé a simplifier l'ecriture.
>
>Merci
>

(k-4)vec(GkA)+....=0
(k-4)vec(GkG0+G0A)+.......=0
G0 étant le pt Gk pour k=0
(6k-6)vec(GkG0)+kvec(G0A)+.....=0
et tu dois trouver que
vec(GkG0)=(k/(6k-6))*un vecteur fixe u
donc Gk est sur la droite passant par G0
de vecteur directeur u
reste à préciser quelle partie de cette droite
est le lieu , cad préciser ce que fait k/(6k-6)
lorsque k décrit R-{1}

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http://perso.wanadoo.fr/alain.pichereau/
( olympiades mathématiques 1ère S )
*****************

Anonyme

Re: 3 exercices 1ereS (optimisation,espace,barycentre)

par Anonyme » 19 Juin 2005, 10:41

On Fri, 03 Jun 2005 19:59:59 GMT, (Alain Pichereau) wrote:

>On Fri, 3 Jun 2005 17:21:24 +0200, "sasa"
>wrote:
>
>[color=green]
>>Ex3 :Soit ABC un triangle et k un reel qcq. On appelle
>>Gk=Bar((A,k-4),(B,2k-4),(C,3k+2)) pour k different de 1.Lieu géométrique du
>>point G qd k varie dans R/1 ?

>
>(k-4)vec(GkA)+....=0
>(k-4)vec(GkG0+G0A)+.......=0
>G0 étant le pt Gk pour k=0
>(6k-6)vec(GkG0)+kvec(G0A)+.....=0
>et tu dois trouver que
>vec(GkG0)=(k/(6k-6))*un vecteur fixe u
>donc Gk est sur la droite passant par G0
>de vecteur directeur u[/color]
sous réserve de justifier u non nul
>reste à préciser quelle partie de cette droite
>est le lieu , cad préciser ce que fait k/(6k-6)
>lorsque k décrit R-{1}
>

une autre solution
Gk est le bary de (A,k) (B,2k) (C,3k) (A,-4) (B,-4) (C,2)
d'où si
U bary de (A,1) (B,2) (C,3) et V=G0= bary de (A,-4) (B,-4) (C,2)
on a
Gk bary de (U,6k) (V,-6) donc UGk=(-6/(6k-6))UV
et, sous réserve de justifier U diff de V (si A,B,C pas alignés c'est
parceque les coeff ne sont pas proportionnels)

le lieu de Gk est la droite (UV) privée de U (car -6/(6k-6) ne peut
faire 0)

rem : U est la "limite" de Gk si k tend vers +infini (ou -)
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