Problème d'optimisation : système d'équation

[Anonyme]

Bonjour,
J'ai le problème suivant :
Min (-ln(x_1) -ln(x_2) -ln(x_3))
sous les contraintes : x_i 0
Je montre dans un premier temps qu'à l'optimum, on a nécessairement x_1
+ 2x_2 + 2x_3 = 72 et ensuite il faut montrer que : x2=x3 à l'optimum,
et là je coince. Quelqu'un a une idée?
Cordialement,
--
Pascal

[Anonyme]

>Bonjour,
>J'ai le problème suivant :
>Min (-ln(x_1) -ln(x_2) -ln(x_3))

Min (-ln(x_1) -ln(x_2) -ln(x_3)) =
Min (- ln(x_1 * x_2 * x_3) =
Max (ln(x_1 * x_2 * x_3))

ln étant croissante ceci s'obtient donc pour x_1 * x_2 * x_3 maximum.

introduisons la fonction f(x,y,z) = xyz

>sous les contraintes : x_i x_1 + 2x_2 + 2x_3 pour des x_i > 0
>Je montre dans un premier temps qu'à l'optimum, on a nécessairement x_1
>+ 2x_2 + 2x_3 = 72

introduisons alors la fonction g(x,y,z) = x + 2y + 2z - 72

> et ensuite il faut montrer que : x2=x3 à l'optimum,
>et là je coince. Quelqu'un a une idée?
>Cordialement,

Le but est alors de trouver le des extrémums de la fonction f(x,y,z)
quand g(x,y,z) = 0

Tu es dans le cas précis d'application du théorème des extrémas liés,
à savoir que tu dois les chercher de telle sorte que
(graf f , grad g) soient liés.

( yz xz xy )
càd ( 1 2 2 ) doit être de rang 1.

Tu n'a plus qu'à conclure.





--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

zwim wrote:

> Le but est alors de trouver le des extrémums de la fonction f(x,y,z)
> quand g(x,y,z) = 0
>
> Tu es dans le cas précis d'application du théorème des extrémas liés,
> à savoir que tu dois les chercher de telle sorte que
> (graf f , grad g) soient liés.
>
> ( yz xz xy )
> càd ( 1 2 2 ) doit être de rang 1.
>
> Tu n'a plus qu'à conclure.

Initialement j'avais à Max (xyz), mais j'ai transformé le pb en un pb
convexe, donc plus simple à résoudre. Je ne connais pas ton théorème, on
ne l'a pas abordé, et je n'ai rien trouvé sur le net dessus. Je
comprends pas ta méthode en fait.
--
Pascal

[Anonyme]

"Pascal" a écrit dans le message de news:
40841726$0$26456$626a14ce@news.free.fr...
> zwim wrote:
>[color=green]
> > Le but est alors de trouver le des extrémums de la fonction f(x,y,z)
> > quand g(x,y,z) = 0
> >
> > Tu es dans le cas précis d'application du théorème des extrémas liés,
> > à savoir que tu dois les chercher de telle sorte que
> > (graf f , grad g) soient liés.
> >
> > ( yz xz xy )
> > càd ( 1 2 2 ) doit être de rang 1.
> >
> > Tu n'a plus qu'à conclure.
>
> Initialement j'avais à Max (xyz), mais j'ai transformé le pb en un pb
> convexe, donc plus simple à résoudre. Je ne connais pas ton théorème, on
> ne l'a pas abordé, et je n'ai rien trouvé sur le net dessus. Je
> comprends pas ta méthode en fait.
> --
> Pascal[/color]

cette méthode est celle des multiplicateurs de Lagrange, essayer donc avec
cela sur un moteur de recherche..


--
Géry Huvent
http://perso.wanadoo.fr/gery.huvent

[Anonyme]

>zwim wrote:
>[color=green]
>> Le but est alors de trouver le des extrémums de la fonction f(x,y,z)
>> quand g(x,y,z) = 0
>>
>> Tu es dans le cas précis d'application du théorème des extrémas liés,
>> à savoir que tu dois les chercher de telle sorte que
>> (graf f , grad g) soient liés.
>>
>> ( yz xz xy )
>> càd ( 1 2 2 ) doit être de rang 1.
>>
>> Tu n'a plus qu'à conclure.
>
>Initialement j'avais à Max (xyz), mais j'ai transformé le pb en un pb
>convexe, donc plus simple à résoudre. Je ne connais pas ton théorème, on
>ne l'a pas abordé, et je n'ai rien trouvé sur le net dessus. Je
>comprends pas ta méthode en fait.[/color]

C'est un théorème de base du calcul différentiel, à consulter dans
n'importe quel bouquin qui parle du théorème des fonctions implicites.
C'est quoi ton niveau ?


Dans le cas qui nous importe tu en déduis

2yz = xz
2xz = 2xy
2yz = xy

soit x = 2y et y=z

En reportant dans l'égalité x+2y+2z=72 tu obtiens

x=24
y=12
z=12


P.S
quand on répond à un thread on ne met pas "Re :", ça permet de tout
conserver dans le même fil, ou on utilise un vrai lecteur de news.

--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...

[Anonyme]

zwim wrote:

> C'est un théorème de base du calcul différentiel, à consulter dans
> n'importe quel bouquin qui parle du théorème des fonctions implicites.
> C'est quoi ton niveau ?

Licence.

>
> Dans le cas qui nous importe tu en déduis
>
> 2yz = xz
> 2xz = 2xy
> 2yz = xy
>
> soit x = 2y et y=z
>
> En reportant dans l'égalité x+2y+2z=72 tu obtiens
>
> x=24
> y=12
> z=12

J'avais compris ce que tu m'avais dit. Mais je ne connais pas cette
méthode.


> P.S
> quand on répond à un thread on ne met pas "Re :", ça permet de tout
> conserver dans le même fil, ou on utilise un vrai lecteur de news.
>

Euh je connaissais pas cette règle. Mais je crois que tout le monde fait
ça. Et Thunderbird est un bon lecteur je pense.
--
Pascal

[Anonyme]

zwim a écrit :
> quand on répond à un thread on ne met pas "Re :", ça permet de tout
> conserver dans le même fil, ou on utilise un vrai lecteur de news.

Mozilla n'est sans doute pas le pire de tous. Mais je ne sais pas...
Ceci dit, la cause probable de ton chagrin, ce sont les accents dans les
entêtes... Je sais pas si c'est mon Netscape, mais il y a souvent un
espace qui s'insert dans les sujets qui contiennent des accents. Par
exemple Pascal a envoyé son sujet encodé comme ceci:
Subject: Re: =?ISO-8859-1?Q?probl=E8me_d=27optimisation_=3A_syst=E8?=
=?ISO-8859-1?Q?me?=

Alors que toi tu l'envoies avec les accents directement dedans, et au
passage tu a viré la fin du sujet... ceci dit c'est probablement dû au
retour à la ligne du Mozilla de Pascal (du moins c'est ce que j'ai chez
moi apparmement)
Bref, malgré ce que certains disent, je continue de penser que le monde
n'est pas prêt pour les accents dans les en-têtes...

Ceci dit, je me demande (mais je n'ai pas non plus cherché) pourquoi ton
Forte Agent ne reconnaît pas les enfilades grâce au 'References' comme
il se devrait...

[X-Post et fu2 fr.usenet.8bits] (même si je suppose que c'est une FAQ,
j'irai voir après avoir posté )

--
Nico.

[Anonyme]

Gery Huvent wrote:

> cette méthode est celle des multiplicateurs de Lagrange, essayer donc avec
> cela sur un moteur de recherche..

Ba ce n'est pas les multiplicateurs de Lagrange qu'il utilise, c'est un
théorème sur le calcul différentiel. En fait j'ai fini par trouvé la
même solution que lui en utilisant les multiplicateurs de Lagrange. Mais
sa méthode est plus rapide car je suis contraint de discuté sur les
différentes valeurs possibles des multiplicateurs.

--
Pascal

[Anonyme]

zwim wrote:

> C'est un théorème de base du calcul différentiel, à consulter dans
> n'importe quel bouquin qui parle du théorème des fonctions implicites.

En fait ta méthode est très bien et très rapide. Avec celle-ci, je
résout plus rapidement de nombreux exercices basés sur ce même modèle!
Mais je ne suis pas sûr de pouvoir l'utiliser car le but des exercices
étaient d'utiliser les conditions KKT et donc jouer avec les relations
d'exclusions des multiplicateurs de Lagrange, et j'ai fini par trouver
le même résultat que toi.
En tout cas merci.
--
Pascal

[Anonyme]

>zwim wrote:
>[color=green]
>> C'est un théorème de base du calcul différentiel, à consulter dans
>> n'importe quel bouquin qui parle du théorème des fonctions implicites.
>
>En fait ta méthode est très bien et très rapide. Avec celle-ci, je
>résout plus rapidement de nombreux exercices basés sur ce même modèle!
>Mais je ne suis pas sûr de pouvoir l'utiliser car le but des exercices
>étaient d'utiliser les conditions KKT et donc jouer avec les relations
>d'exclusions des multiplicateurs de Lagrange, et j'ai fini par trouver
>le même résultat que toi.
>En tout cas merci.[/color]

En fait c'est la généralisation en dimension supérieure du f ' (x)= 0
si x est extremum de f en dimension 1.
Là tu considère le plan tangent (sa normale en fait) qui est

grad f = (df/dx, df/dy, df/dz).

De la même manière si grad f = 0 on a un extremum de la surface f.

Pour des extrema liés on cherche en fait à ce que les plans tangents
de f et g coïncident.

Ici c'est encore plus simple à comprendre du fait que pour g(x,y,z) =
x+2y+2z-72, g(x,y,z) = 0 (i.e. x+2y+2z = 72) est déjà l'équation
d'un plan.

Donc tu cherches un point (x,y,z) dans ce plan et qui soient aussi
extremum de f, tu vois bien visuellement qu'il faut que ton plan soit
tangent à la surface f pour que ce point définisse un extrémum de f.
S'il coupe la surface, alors il y a un extrémum d'un côté ou de
l'autre du plan sur f.

Du point de vue analytique ça se traduit par la colinéarité des 2
vecteurs normaux grad f et grad g.

Lorsque g n'est pas un plan, c'est plus difficile à se représenter
visuellement, mais c'est pareil, un point (x,y,z) est sur la surface
g(x,y,z) = 0 et les surfaces de f et g doivent être tangentes en ce
point pour avoir un extremum de f, ce qui est équivalent au fait que
leurs 2 plans tangents coïncident, càd que g(raf f, grad g) liés.

En dimension 2 ça donne ça ->


g = --------------------------------------------
***
** ****
** *****
** ***
f = ** ***



le plan tangent de g (ici la droite horizontale) et tangente à la
courbe de f (les étoiles).

La condition s'exprime grad f = a * grad g
càd f'(x) = a * g'(x) = a * 0 = 0

Tu retrouves la condition f'(x) = 0 si x extrémum de f.


Tout cela pour dire que la méthode n'est pas une méthode miracle, mais
la généralisation intuitive de ce qui se passe en dimension 1.

En revanche la démonstration s'appuie sur une notion plus complexe qui
est le théorème des fonctions implicites, mais c'est uniquement pour
justifier l'existence des plans tangents et de leur colinéarité en
l'extrémum.




--
zwim.
Rien n'est impossible que la mesure de la volonté humaine...