Cohomologie, limite inductive de l'espace projectif.

[Nightmare]

Bonsoir :happy3:

Je suis en train de lire un article intéressant sur les groupes de cohomologie de Rham. Ils proposent dans chaque chapitre des applications sans corrections. Pour un lecteur amateur comme moi, ça pose parfois problème

En l'occurrence, ils proposent cet exercice :

Calculer les groupes de cohomologie de Rham de

j'ai montré précédemment qu'en tant que k-espace vectoriel, on a mais je ne vois pas trop comment en déduire la cohomologie de ma limite inductive...

J'ai déjà montré que était homéomorphe à k lorsque i était pair et inférieur à 2n et homéomorphe à {0} sinon (récurrence sachant que est homéomorphe à ) , j'imagine que ça doit nous aider ...

Si vous aviez des idées !

Merci

[Joker62]

Tu dois vraiment être atteint d'une grave maladie mon ami lol

[Nightmare]

Après la lecture de cet article, de gros maux de tête oui :lol3:

[sniperamine]

et ben rien à dire ^^

[Joker62]

Pourquoi tu fais pas des séries entière comme en L2 :D ?

[Nightmare]

J'en bouffe aussi ne t'inquiète pas :lol3:

[Nightmare]

Pour en revenir à mon exercice, j'ai montré que l'application était un épimorphisme.

En vertu de j'aurais envi d'en déduire que (limite projective)

Ce dernier étant homéomorphe à ça me permettrait de conclure que lorsque i est pair.

Mais il doit me manquer un théorème pour mon isomorphisme entre la cohomologie de la limite inductive et celle de la limite projective !

[Doraki]

J'ai quand même l'impression que t'as des résultats un peu contradictoires...

k = C ?
Comme k-ev, k[X]/X^(n+1) c'est pareil que k^(n+1), nan ?

Donc t'aurais que la somme directe des Hachis(Pn(C)) qui serait un k-ev de dimension (n+1) et n/2 en même temps ?

[Nightmare]

Arf oui Je n'ai pas précisé, j'ai des faisceaux différents !

On a plutôt :


et

[skilveg]

Euh, depuis quand les espaces projectifs sont des espaces vectoriels?

Généralement (enfin c'est comme ça que je l'ai fait), on calcule la cohomologie de grâce à la suite exacte de Mayer-Vietoris.

[Nightmare]

Depuis jamais :lol3: Ce ne sont pas mes espaces projectifs qui sont des k-ev mais ma somme directe et mon quotient.

[Nightmare]

Oui je l'ai fait ça Skilveg mais je ne peux pas en déduire la cohomologie de la limite inductive. Cependant j'ai regardé un peu sur le net et j'ai trouvé le critère de Mittag-Lefler qui semble me permettre de conclure.

:happy3:

[skilveg]

Ah bah forcément, si tu effaces des bouts de ton espace de départ, ça fait croire que je raconte n'importe quoi... :happy2: En même temps c'est aussi ce que je viens de faire (cf mon message précédent).

[Edit: argh quelle plaie ces posts croisés!]

[Nightmare]

Ne t'inquiète pas j'ai pris en compte ta remarque, tu avais raison je me suis juste mal exprimé (comme d'hab, je ne suis encore qu'un amateur dans ce domaine et je suis rapidement perdu :cry: )

[R.C.]

Bonsoir,
Il me semble (mais je ne suis pas certain) que , où x est donné par la forme de Fubini-Study (la forme kahlerienne std sur CP^n). Ca m'a l'air d'être ca, mais je ne sais plus comment on le montre. Il me semble que Milnor-Stasheef parlent de cet espace dans le bouquin characteristic classes (bouquin très intéressant par ailleurs..).

[Nightmare]

Salut :happy3:

C'est encore plus intéressant que mon résultat ! N'as-tu pas une idée de preuve?

[ffpower]

Euh,est ce que vous avez une référence sur le sujet(si possible sur le net lol).Car votre discussion a l air sympa,mais j en ai pas compris un traitre mot :briques:

[Nightmare]

Je vais t'épargner les mots de tête ffpower ! De toute façon il n'y a pas beaucoup de références sur le sujet sur internet :cry:

[Nightmare]

Si quelqu'un avait une idée pour démontrer le résultat énoncé par R.C :