Espace projectif

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cyclique
Membre Naturel
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Enregistré le: 14 Oct 2008, 00:46

espace projectif

par cyclique » 14 Oct 2008, 00:52

Bonsoir,

Soit E un espace projectif qui contient une droite de n+1 points, alors il faut montrer que chaque droite de E est formée de n+1 points.

j'ai essayé de raisonner en terme de direction de droites, points à l'infini...mais je ne vois pas comment démontrer :triste:



busard_des_roseaux
Membre Complexe
Messages: 3151
Enregistré le: 24 Sep 2007, 15:50

par busard_des_roseaux » 14 Oct 2008, 09:27

Bjr,

E provient du quotient d'un espace vectoriel
(privé de ) par la relation de colinéarité.
soit la surjection canonique.

si est une telle droite projective,
avec exactement (n+1) points,

il existe dans un plan vectoriel
tel que:


contient exactement (n+1) droites vectorielles et pas plus.

là, c'est du vectoriel et de l'algèbre linéaire. Je pense que ce n'est possible que si le corps de base est fini.

conseil pratique:
Il faudait regarder des espaces vectoriels du style
pour se faire une idée des droites et plans vectoriels dans un tel e.v ??

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leon1789
Membre Transcendant
Messages: 5475
Enregistré le: 27 Nov 2007, 17:25

par leon1789 » 14 Oct 2008, 10:35

j'utiliserais le fait que, pour toutes droites D1 D2, 'il existe un automoprhisme envoyant D1 sur D2, non ?

cyclique
Membre Naturel
Messages: 19
Enregistré le: 14 Oct 2008, 00:46

par cyclique » 14 Oct 2008, 14:38

ok je vois. Mais si je désire connaître le nombre d'élements du coprs qui a servi à définir E?
Chaque droite de l'espace affin possède n points et si je connais le nombre de droite de l'espace affin alors c'est fini mais je n'y arrive pas.:hein:

Maxmau
Membre Irrationnel
Messages: 1149
Enregistré le: 19 Mar 2008, 12:11

par Maxmau » 14 Oct 2008, 16:11

cyclique a écrit:ok je vois. Mais si je désire connaître le nombre d'élements du coprs qui a servi à définir E?
Chaque droite de l'espace affin possède n points et si je connais le nombre de droite de l'espace affin alors c'est fini mais je n'y arrive pas.:hein:


Bj

K un corps commutatif
K² le plan vectoriel associé
P(K²) la droite projective associée c'est-à-dire l’ensemble des droites vectorielles de K²
K U {infini} le corps K complété par un point à l’infini

L’application de K U {infini} vers P(K²) qui à x dans K associe la droite vectorielle dirigée par le vecteur (1,x) et au point à l’infini associe la droite vectorielle dirigée par le vecteur (0,1) est une bijection. (fais un dessin dans le cas K=R)

 

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