Espace projectif

[barbu23]

Bonjour;

Il y'a un passage dans mon cours que je ne comprends pas bien :
On dit que est une variété différentielle lisse de dimension , dont un atlas est , où :
et
et

Questions :

- Pourquoi et sont des ouverts de ?
- Pourquoi et recouvrent ?
- Pourquoi et sont des homéomorphismes ?

Merci d'avance.

[barbu23]

Help please. :happy3:
et sont des ouverts de , car et sont des ouverts de , non ?

[Doraki]

non.

C'est quoi ta définition de P1C ?

[barbu23]

non.
C'est quoi ta définition de P1C ?

est l'ensemble des droites vectorielles de via la relation d'équivalence : et . Est ce que les éléments de sont uniquement les droites passant par ? parce que j'ai entendu parler de ça quelque part. Il y'a bijection entre est le cercle

[Doraki]

Non P1C est l'ensemble des droites vectorielles du C-espace vectoriel C².
P1R est l'ensemble des droites vectorielles du R-espace vectoriel R², qui n'a absolument aucune raison de devoir être identifié à C (ça n'apporte absolument rien).

Une droite vectorielle ça veut dire un sous-C-espace vectoriel de C² de dimension 1, donc un ensemble de la forme {;)z, ;) dans C} où z est dans C²-{(0,0)}.

Quelle est la topologie sur P1C ?

[barbu23]

Non P1C est l'ensemble des droites vectorielles du C-espace vectoriel C².
P1R est l'ensemble des droites vectorielles du R-espace vectoriel R², qui n'a absolument aucune raison de devoir être identifié à C (ça n'apporte absolument rien).

Une droite vectorielle ça veut dire un sous-C-espace vectoriel de C² de dimension 1, donc un ensemble de la forme {;)z, dans C} où z est dans C²-{(0,0)}.

Quelle est la topologie sur P1C ?

C'est la topologie quotient qui rend continue ( topologie finale ). :hein:
Moi, est l'ensemble des droites de ,sinon et seront définie autrement non ? on n'aurait pas parlé de comme ensemble d'arrivée de , non ? :mur:

[Doraki]

Bon manifestement tu veux parler de P1R alors. Efface C partout et remplace-le par R², un R-espace vectoriel de dimension 2.

Tu as l'air de penser que l'ensemble des droites vectorielles de R², et R²/~, c'est la même chose.
(où pour tout x et y de R², x~y <=> il existe ;) réel non nul tel que ;).x = ;).y)
Donc j'ai quelques questions.
La droite vectorielle {(x,y) / 2x+3y = 0} ça correspond à quelle classe d'équivalence dans R²/~ ?
La classe d'équivalence de (0,0) (à savoir {(0,0)}) correspond à quelle droite vectorielle de R² ?

[barbu23]

Je ne peux pas effacer , parce que c'est écrit dans mon cours, je ne peux pas sortir de ce que dit le cours. D'accord, donc est l'espace
Pour répondre à tes questions :
- , donc , donc ?
- , par définition de la relation d'équivalence . donc
non ?

[Doraki]

P(C²) ? c'est quoi P ?
La relation ~ elle est définie sur R² ou sur R²-{(0,0)} ?? Parceque au début tu parlais de C/~ (R²/~) et là on sait pas trop pourquoi mais tout d'un coup "par définition de ~", {(0,0)} n'est pas une classe d'équivalence de ~ ?

[barbu23]

P(C²) ? c'est quoi P ?
La relation ~ elle est définie sur R² ou sur R²-{(0,0)} ?? Parceque au début tu parlais de C/~ (R²/~) et là on sait pas trop pourquoi mais tout d'un coup "par définition de ~", {(0,0)} n'est pas une classe d'équivalence de ~ ?

non, dans le cas simplifié que tu proposes; celui sur , ( C'est toi qui a choisi l'exemple, pas moi !!! ), la relation d'équivalence, est :
:

[Doraki]

Mais alors pourquoi avant tu parlais de C/~ ?

Enfin bref.
La topologie de P1R est donc la topologie induite par le quotient R²-{(0,0)} -> (R²-{(0,0)})/ ~.
A une droite vectorielle de R², on associe l'élément de (R²-{(0,0)})/~ qui est la classe d'équivalence des générateurs de cette droite. Comme ça t'as le droit de dire que P1R est l'ensemble des droites vectorielles de R².

Ensuite je suis pas au courant de tes notations.
Dans ton U0 = {(x0:x1) de P1R / x0 est non nul}, x0 et x1 sont des réels ? (x0:x1) désigne quelle droite/quelle classe d'équivalence ?

[barbu23]

Non, on se place dans ( comme tu as dit au début )

Donc : .
Voilà, c'est pas grave, on termine. :lol3:

[Doraki]

Ben dans C²/~ il y a la classe {(0,0)}.
Et là juste avant tu disais qu'elle n'existait pas parcequ'on se place dans (C²-{(0,0)})/~.

Il faut savoir.

[barbu23]

Voilà, j'ai corrigé ! regarde maintenant !?! :lol3:

[Doraki]

Ben pour montrer que U0 est un ouvert de P1C il faut donc montrer que ;)-1(U0) est un ouvert de C²-{(0,0)}.

U0 = l'ensemble des classes d'équivalences des éléments (x,y) où x est un complexe non nul et y un complexe quelconque.
Donc c'est quoi ;)-1(U0) comme sous-ensemble de C²-{(0,0)} ?

[barbu23]

Ben pour montrer que U0 est un ouvert de P1C il faut donc montrer que -1(U0) est un ouvert de C²-{(0,0)}.

U0 = l'ensemble des classes d'équivalences des éléments (x,y) où x est un complexe non nul et y un complexe quelconque.
Donc c'est quoi -1(U0) comme sous-ensemble de C²-{(0,0)} ?

qui est un ouvert de pour la topologie induite.

[barbu23]

Quel est l'inverse de ? :mur:

[barbu23]

Un petit coup de main svp. :happy3:

[barbu23]

?


Correct ?
Merci d'avance. :happy3:

[barbu23]

Pourquoi est continue ?
Merci d'avance. :happy3: