Espace projectif

[cyclique]

Bonjour,

Considérons l'espace vectoriel V=K^4 ou K est un corps à 7 éléments.
On demande :
a) Quel est le nombre de pts de l'espace projectif P(V)?
Pour moi la réponse est ((7^5)-1)/4
b) Quel est le nombre de pts qui sont fixés par la projectivité

[ 0 0 0 1 ]
[ 0 0 1 0 ]
[ 0 1 0 0 ]
[ 1 0 0 0 ]

donc les points sont envoyés sur les quadruples [ X4 X3 X2 X1 ]
donc je me suis dit que les points sont [1 1 1 1 ] et tous les points de l'espace tel que X4=X1 et X3=X2
mais comme les points sont les mêmes à un facteur multiplicatif près,
je retire ces points, p ex [1 2 2 1]= [ 3 6 6 3]
mais donc après chaque cas j'arrive à 35 possibilités
et donc avec 1111 cela reviens à 36 points fixés.
est ce correct? si oui, existe t'il
une méthode plus rapide?

[Maxmau]

Bj
a/ J’ai des doutes (mais je n’ai pas vérifié)
Les points de P(V) sont les droites vectorielles de V
b/ Les points fixes sont les droites propres (dirigeant un vecteur propre) de la transformation linéaire associée à la projectivité

[cyclique]

oui c'est bien divisé par 6 je suis d'accord (c'est une faute de frappe de ma part)

pour le b) je présume que tu parle de [1 2 2 1]= [ 3 6 6 3]
mais comme tu le dis toi même (par colinéarité), il représente le même point projectif. Désolé mais je ne comprends pas où est mon erreur...

[abcd22]

Bonsoir,
Au début de l'énoncé on prend V = K^4 donc P(V) est de dimension 3, les éléments de P(V) ont 4 composantes, et le calcul de la question 1 est faux.