Espace vectoriel

[kmi]

bonjour, je n'arrive pas à montrer une question de ce problème :

E est l'ensemble des fonctions de classe C2 sur R
F l'ensemble des éléments de E tq f''-3f'+2f=0
FO l'ensemble des éléments de F vérifiant en outre f(0)=f'(0)=0
f1(x)=e^x et f2(x)=e^2x

Après avoir montré que F et FO sont des sev de E et que f1 et f2 sont linéairement indépendants, on me demande de montrer qu'il existe un unique couple (a1,a2) tq f-a1f1-a2f2 appartienne à FO. et là je bug!!
merci d'avance

[fatal_error]

Salut,


soit
Tu peux calculer

Et
ne pas oublier que g appartient a Fo implique g appartient a E

[kmi]

j'arrive à un système où a1 et a2 sont égaux à O. je crois que ca mene pas à grand chose ce que j'ai fait :p

[fatal_error]

erf, en tentant de faire l'exo, chez moi ca capote aussi :

On a donc g"-3g'+2g=0

On se simplifie la vie en remarquant que f appartient a F donc on peut "ignorer f".
donc on pose
g=-a1f1 -a2f2

On va vérifier que g appartient d'abord a F:
cad :

cad l'equation est vraie quelque soit a1 et a2.

On vérifie que g dans FO:
f(0)-a1-a2=0
f'(0)-a1-2a2=0

On est dans IR donc on va trouver les fonctions solutions de leq:
f"-3f'+2f=0;

cad
On remarque au passage que ca tombe bien, vu que a_1 et a_2 sont solutions de F

Du coup, on a a partir de f :
C1+C2-a2=a1
2C1+C2-2a2=a1

cad -C1+a2=0
d'ou a2=C1 et a1=C2

On est loin d'avoir trouve notre unique couple :briques:

[Doraki]

f1 et f2 sont dans F.

Soit f dans F.
Pour tout a,b, de R, la fonction g = f- a*f1 - b*f2 est encore dans F parceque c'est un espace vectoriel.
g(0) = f(0)-a-b
g'(0)= f'(0)-a-2b

Donc g est dans F0 si et seulement si on a pris a et b tels que f(0) = a+b et f'(0) = a+2b...
Ce système pour trouver l'unique couple (a,b) qui marche est tout ce qu'il y a de plus gentil.

[fatal_error]

erf oui, a_1 et a_2 dependent de f mais pour chaque f le couple (a_1,a_2) est unique :cry:

[kmi]

merci pour votre aide.
Pour justifier que g appartient à f je dirais plus précisément que c'est parce que g est combinaison linéaire de vecteurs de F.