Démonter une forumle par récurrence (term s)
Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 20:44
Bonsoir,
J'aurais besoin de votre aide pour démontrer une formule s'il vous plaît :
lim (exp x / x^n ) = + infini
x->+infini
On démontre par récurrence :
(Pn) : exp x > x^(n+1) / (n+1)!
En vous remerciant. Yuna
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uztop
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par uztop » 21 Nov 2008, 20:50
Bonjour,
l'hypothèse au rang n+1 est donc
P(n+1)
Il faut donc étudier la fonction
et voir si elle est positive.
N'oublie pas aussi de montrer que P(0) est vraie
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:11
D'accord merci beaucoup, cependant combien vaut la dérivée de (n+2) ! ?
En dérivant la fonction f(x) = exp x - ( (x^n+2) / (n+2) ! ) je trouve f'(x) = exp x , est-ce exact ?
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Kah
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par Kah » 21 Nov 2008, 21:40
Salut!
Comme tu derives en fonction de x, (n+2)! est un constante, donc sa derivée est nulle.
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Antho07
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par Antho07 » 21 Nov 2008, 21:43
Yuna29 a écrit:D'accord merci beaucoup, cependant combien vaut la dérivée de (n+2) ! ?
En dérivant la fonction f(x) = exp x - ( (x^n+2) / (n+2) ! ) je trouve f'(x) = exp x , est-ce exact ?
non, il faut aussi dériver
ou encore
si cette écriture t'aide à y voir plus clair
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:46
Merci, la dérivée est donc bien égale à exp x ?
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:48
Antho07 a écrit:non, il faut aussi dériver
ou encore
si cette écriture t'aide à y voir plus clair
Oui mais 1 / (n+2) ! ne varie pas ne fonction de x ... donc au final la dérivée de
est égale à 0 , non ?
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Kah
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par Kah » 21 Nov 2008, 21:51
Ah j'avais mal lu ton truc: prends ici 1/(n+2)! comme une constante.
tu derives x^(n+2) et tu multiplies le resultat par 1/(n+2)!
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:53
Merci ! Je trouve donc que la dérivée fait exp x - (x^(n+1) ) / (n+1) !
comment montrer que c'est positif ensuite ?
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uztop
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par uztop » 21 Nov 2008, 21:54
tu ne reconnais pas P(n) la dedans ?
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:59
Oui effectivement ! Donc j'en déduis que cette fonction est positive et croissante .. sans rien montrer d'autres ?
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uztop
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par uztop » 21 Nov 2008, 22:00
la dérivée est donc positive, la fonction est donc croissante. Il faut maintenant dire pourquoi elle est positive
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:03
Oui, mais que dire? Je ne vois pas trop .. et ensuite comment en arriver à dire que la limite recherchée est bien égale à + l'infini ? Le prof nous a donné Pn sans nous expliquer pourquoi c'était ça et pas autre chose ..
En vous remerciant
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Kah
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par Kah » 21 Nov 2008, 22:06
tu as Pn:e^x>(x^(n+1))/(n+1)!, donc e^x-(x^(n+1))/(n+1)!>0.
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uztop
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par uztop » 21 Nov 2008, 22:06
pour montrer que la fonction est positive, il suffit de montrer qu'elle est positive en 0 vu qu'elle est croissante. C'est immédiat mais il faut le dire.
Maintenant pour la limite, c'est une application de la propriété que tu viens de démontrer
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Yuna29
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par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:10
D'accord, merci beaucoup à vous ! :id: Bonne soirée ! Yuna
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