Démonter une forumle par récurrence (term s)

Réponses à toutes vos questions de la 2nde à la Terminale toutes séries
Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

Démonter une forumle par récurrence (term s)

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 21:44

Bonsoir,

J'aurais besoin de votre aide pour démontrer une formule s'il vous plaît :

lim (exp x / x^n ) = + infini
x->+infini

On démontre par récurrence :
(Pn) : exp x > x^(n+1) / (n+1)!

En vous remerciant. Yuna



uztop
Membre Complexe
Messages: 2396
Enregistré le: 12 Sep 2007, 13:00

par uztop » 21 Nov 2008, 21:50

Bonjour,

l'hypothèse au rang n+1 est donc
P(n+1)
Il faut donc étudier la fonction et voir si elle est positive.
N'oublie pas aussi de montrer que P(0) est vraie

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:11

D'accord merci beaucoup, cependant combien vaut la dérivée de (n+2) ! ?

En dérivant la fonction f(x) = exp x - ( (x^n+2) / (n+2) ! ) je trouve f'(x) = exp x , est-ce exact ?

Kah
Membre Rationnel
Messages: 540
Enregistré le: 15 Sep 2008, 21:51

par Kah » 21 Nov 2008, 22:40

Salut!
Comme tu derives en fonction de x, (n+2)! est un constante, donc sa derivée est nulle.

Antho07
Membre Rationnel
Messages: 741
Enregistré le: 26 Oct 2007, 21:12

par Antho07 » 21 Nov 2008, 22:43

Yuna29 a écrit:D'accord merci beaucoup, cependant combien vaut la dérivée de (n+2) ! ?

En dérivant la fonction f(x) = exp x - ( (x^n+2) / (n+2) ! ) je trouve f'(x) = exp x , est-ce exact ?


non, il faut aussi dériver

ou encore



si cette écriture t'aide à y voir plus clair

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:46

Merci, la dérivée est donc bien égale à exp x ?

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:48

Antho07 a écrit:non, il faut aussi dériver

ou encore



si cette écriture t'aide à y voir plus clair


Oui mais 1 / (n+2) ! ne varie pas ne fonction de x ... donc au final la dérivée de est égale à 0 , non ?

Kah
Membre Rationnel
Messages: 540
Enregistré le: 15 Sep 2008, 21:51

par Kah » 21 Nov 2008, 22:51

Ah j'avais mal lu ton truc: prends ici 1/(n+2)! comme une constante.
tu derives x^(n+2) et tu multiplies le resultat par 1/(n+2)!

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:53

Merci ! Je trouve donc que la dérivée fait exp x - (x^(n+1) ) / (n+1) !
comment montrer que c'est positif ensuite ?

uztop
Membre Complexe
Messages: 2396
Enregistré le: 12 Sep 2007, 13:00

par uztop » 21 Nov 2008, 22:54

tu ne reconnais pas P(n) la dedans ?

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 22:59

Oui effectivement ! Donc j'en déduis que cette fonction est positive et croissante .. sans rien montrer d'autres ?

uztop
Membre Complexe
Messages: 2396
Enregistré le: 12 Sep 2007, 13:00

par uztop » 21 Nov 2008, 23:00

la dérivée est donc positive, la fonction est donc croissante. Il faut maintenant dire pourquoi elle est positive

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 23:03

Oui, mais que dire? Je ne vois pas trop .. et ensuite comment en arriver à dire que la limite recherchée est bien égale à + l'infini ? Le prof nous a donné Pn sans nous expliquer pourquoi c'était ça et pas autre chose ..
En vous remerciant

Kah
Membre Rationnel
Messages: 540
Enregistré le: 15 Sep 2008, 21:51

par Kah » 21 Nov 2008, 23:06

tu as Pn:e^x>(x^(n+1))/(n+1)!, donc e^x-(x^(n+1))/(n+1)!>0.

uztop
Membre Complexe
Messages: 2396
Enregistré le: 12 Sep 2007, 13:00

par uztop » 21 Nov 2008, 23:06

pour montrer que la fonction est positive, il suffit de montrer qu'elle est positive en 0 vu qu'elle est croissante. C'est immédiat mais il faut le dire.
Maintenant pour la limite, c'est une application de la propriété que tu viens de démontrer

Yuna29
Membre Relatif
Messages: 130
Enregistré le: 07 Nov 2007, 14:42

par Yuna29 » 21 Nov 2008, 23:10

D'accord, merci beaucoup à vous ! :id: Bonne soirée ! Yuna

 

Retourner vers ✎✎ Lycée

Qui est en ligne

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur enregistré et 32 invités

cron

Tu pars déja ?



Fais toi aider gratuitement sur Maths-forum !

Créé un compte en 1 minute et pose ta question dans le forum ;-)
Inscription gratuite

Identification

Pas encore inscrit ?

Ou identifiez-vous :

Inscription gratuite