Nombres complexes TS

[vista13]

Je bloque à une question d'un exo sur les complexes...

3)Soit x+iy la forme algébrique de f(z) ( f(z)=(z-2)/(z+i) )

a)Calculer la forme algébrique de f(z)
Je trouve f(z)=[(x-1)²+y²]/[x²+(y+1)²]+[i(-x+2y+2)/[x²+(y+1)²]

b)Determiner l'ensemble E des points M(x;y) tels que Re(f(z))=0
Je trouve x-1+y=0 ou x-1-y=0 et après je vois pas comment le résoudre..

c)Determiner l'ensemble E des points M(x;y) tels que Im(f(z))=0
Je trouve -x+2y+2=0 et je sais pas comment le résoudre

Merci d'avance!

[Sa Majesté]

Je bloque à une question d'un exo sur les complexes...

3)Soit x+iy la forme algébrique de f(z) ( f(z)=(z-2)/(z+i) )

a)Calculer la forme algébrique de f(z)
Je trouve f(z)=[(x-1)²+y²]/[x²+(y+1)²]+[i(-x+2y+2)/[x²+(y+1)²]

Il faut dire bonjour !
Bonjour,
Je suis d'accord avec la partie imaginaire mais pas avec la partie réelle

[vista13]

Bonsoir Sa Majesté!

J'ai refait le calcul et je comprends pas pourquoi tu n'es pas d'accord avec la partie reelle ??

[Sa Majesté]

Parce que je ne trouve pas pareil (et j'ai refait le calcul aussi)
Peux-tu détailler le tien ?

[vista13]

D'accord :

f(z)=(z-2)/(z+i)

f(x+iy)=[(x-2)+iy]/[x+i(y+1)]
=[[(x-2)+iy][x-i(y+1)]]/[x²+(y+1)²]

[(x-2)+iy][x-i(y+1)]=x²-xi(y+1)-2x+2i(y+1)+iyx+y²+1
=x²-2x+y²+1+(-x(y+1)+2i(y+1)+iyx)
=(x-1)²+y²+i(-x+2y+2)

[Sa Majesté]

Eh non !
C'est x²-2x+y²+y et pas x²-2x+y²+1

[vista13]

Ah oui effectivement, merci beaucoup!
Pour la suite t'as une idée? Parce que on a deux inconnus x et y donc j'vois pas

[Sa Majesté]

Re(f(z))=0 ça donne quoi comme équation en x et y ?

[vista13]

Re(f(z))=0 <=> x²-2x+y²+y=0 <=> x(x-2)+y(y-1)=0

[Sa Majesté]

Ouaip
Il vaut mieux rester avec ça :x²-2x+y²+y=0
Et ensuite une petite manip ... et on trouve !

[vista13]

ah oui c'est une équation de cercle

x²-2x+1-1+y²+y+(1/4)-(1/4)=0
(x-2)²+(y+(1/2))²=5/4

L'ensemble des points M est le cercle de centre (2;-1/2) et de rayon (racine de5)/2 ?

[vista13]

et pour Im(f(z))=0 c'est -x+2y+2=0 <=> x=2y+2

Donc l'ensemble E des points M est la droite d'équation x=2y+2 ?

[Sa Majesté]

ah oui c'est une équation de cercle

x²-2x+1-1+y²+y+(1/4)-(1/4)=0
(x-2)²+(y+(1/2))²=5/4

L'ensemble des points M est le cercle de centre (2;-1/2) et de rayon (racine de5)/2 ?

Oui
Sauf que c'est (x-1)² ...

[Sa Majesté]

et pour Im(f(z))=0 c'est -x+2y+2=0 x=2y+2

Donc l'ensemble E des points M est la droite d'équation x=2y+2 ?

Oui
En général on écrit plutôt y=ax+b

[vista13]

Euh oui mince

donc y=0.5x-1

Merci beaucoup Sa Majesté!
A bientot