Equation diophantienne

[lapras]

Bonjour
Résoudre en entiers naturels :

Bon courage,
Lapras :we:

[miikou]

c'est du type x²-2y'²=1 cas deja traité un bon nombre de fois ;)

[lapras]

Et non !
Ok tu peux résoudre le cas avec seulement des carrés.
Mais va montrer que la suite des solutions de l'équation de pell-fermat ne contient pas/contient des carrés (pour y)...
c'est pas évident !

[guigui51250]

bah en tout cas moi je sèche :--:

[lapras]

Quand vous voudrez je posterai ma solution, si elle est juste ! :)

[guigui51250]

attend encore une journée quand même pour laisser les gens chercher

[leon1789]

Soit .

Imaginons un entier x>0 tel que
(x-e)/16 et (x+e)/2 soient tous les deux des entiers et même des puissances quatrièmes d'entiers.

Ca permet de dire des choses sur x ?

[miikou]

@ leon :

soit xo,yo une solution de x²-2y²=1 (E)
xn,yn solution de E <=> yn+xn = (y0+x0)^n & Yn-xn=(y0-x0)^n

donc Yn = [(y0+racinde(2)x0)^n + (y0-racine(2)x0)^n]/2
or x0=3,Y0=2 fonctionne

Yn= [(3+2racine(2))^n +(3-2racine(2))^n]/2

[lapras]

Leon > je suis parti la dessus pour ma démonstration et j'ai réussi a montrer qu'il n'y avait pas de solutions (sauf (1,0));)
Donc je te conseille de continuer la dessus (un moment y'aura une petite astuce à trouver !)
mikou > La suite y_n des solutions y est donnée par :


Bon courage pour montrer qu'il n'y a pas de carrés dedans

[miikou]

je reprends
or le chiffre des unité de (5^n+1)/2 est tjs 3 ( on etudies modulo10)

or k² nest jms congrus a 3 mod 10 CQFD pas de solution

[nodgim]

(x-1)(x+1)=2y^4
donc il faut x=2x+1
2x(2x+2)=2y^4
4x²+4x=2y^4
donc il faut y=2y
4x²+4x=32y^4
x²+x=x(x+1)=8y^4

donc il faut soit x=8x:
64x²+8x=8y^4
8x²+x=y^4
x(8x+1)=y^4
Or x et 8x+1 sont premiers entre eux, donc pas de solution.

Soit x=8x-1:
(8x-1)(8x)=8y^4
64x²-8x=8y^4
8x²-x=x(8x-1)=y^4
Or x et 8x-1 sont premiers entre eux, donc pas de solution.

Donc, si je n'ai pas fait d'erreur, il n'y a pas de solutions..

[guigui51250]

donc il faut x=2x+1

euh pourquoi? (désolé je rame trop là ^^)

[lapras]

Tu t'embrouilles dans tes variables
Mais meme si et que
on doit juste avoir

()
C'est beaucoup plus compliqué.

[leon1789]

Soit .
Imaginons un entier x>0 tel que (x-e)/16 et (x+e)/2 soient tous les deux des entiers et même des puissances quatrièmes d'entiers.

Posons et , pour arriver à et

Modulo 4, on obtient où a est un multiple de 5 et b impair...

[leon1789]

Donc, si je n'ai pas fait d'erreur, il n'y a pas de solutions..

personnellement, je vois 2 petites solutions :id:

[lapras]

Léon > Oui , mais c'est loin d'être fini ! (d'ailleurs pourquoi a multiple de 5?)
Effectivement, il y a deux petites solutions triviales :happy2:

[leon1789]

pourquoi a multiple de 5?

et : cela impose que 5 divise a.

[lapras]

Je ne suis pas sur que ca soit vraiment utile mais on ne sait jamais !
En tout cas voici ma solution, libre a ceux qui veulent chercher de ne pas la regarder.
S'il vous plait dites moi où y a -t-il des erreurs (si il y en a!)
On doit résoudre :

modulo 4, on a : y pair donc

Cas 1)

alors

donc

donc
donc

donc

le discriminant est
est un carré parfait. Ainsi :


donc
a) si

et
donc


donc

donc

on a
on vérifie que l'équation se réécrit alors (factorisation de polynome) :

On a alors donc et sont des puissances de 4, ce qui est impossible si
si , on vérifie qu'on obtient solution

b)

si
etdonc


donc

donc
ce qui est bien sur impossible modulo 4.


Cas 2)

alors

comme on a :

donc
donc

donc

le discriminant est
doit etre un carré parfait, on se retrouve dans le cas 1

donc l'équation n'a pas de solutions sauf (1,0)[/

[leon1789]

Posons et , pour arriver à et

Modulo 4, on obtient où a est un multiple de 5 et b impair...

[[a multiple de 5]] Je ne suis pas sur que ca soit vraiment utile mais on ne sait jamais !

En fait, je ne m'en sers pas, c'est vrai. Mais voici la fin de ma solution.

b est impair : écrivons b=2c+1.
Il vient alors
Or c, c+1, 2c^2+2c+1 sont premiers entre eux 2 à 2 (via du Bézout)
=> c=0 ou c=-1
=> a=0
=>
=> (lorsque x>0)
Seules solutions : et

[leon1789]

(...) on vérifie que l'équation se réécrit alors (factorisation de polynome) :

On a alors (...)

Tiens, on arrive au même argument...