Factorisation d'un polynôme par x-alpha

[Marjo218]

Bonjour,

J'ai un exercice (de 1e S) qui traite sur la réciproque de P(x)= (x-alpha) Q(x).
Je ne sais pas du tout coment m'y prendre un pti coup de pouce svp !

Enoncé :

A) Soit p un entier natuel non nul. Demontrer que, pour tout réels x et y, on a :

(x-y) (x [p-1] + yx [p-2] + ... + y [p-2]x + y [p-1] ) = x [p] - y [p]

[] signifient exposant.

B) On suppose que P(x) = A n X [n] + A n-1 X [n-1] + ... + A o et que alpha est racine de P.
Ecrire l'égalité vérifiée par alpha.

Calculer P(x)-P(alpha) et montrer que (x-alpha) est un facteur commun dans l'écriture de P(x)- P(alpha). (On utilisera l'égalité du A) avec p=1, p=2, ..., p=n.

C) En déduire que P(x) est divisible par (x-alpha).

Merci d'avance

[Florélianne]

Bonjour,
Une piste : utiliser la récurrence
vrai pour n= 2
x² -y² = (x-y)(x+y)
maintenant si c'est vrai pour n, est-ce toujours vrai pour n- 1 ?
Bon travail
Florélianne

[nodgim]

Ou alors tu fais la division de (x^p-y^p) par (x-y) :zen:

[oscar]

Bjr

Voici la méthode de division de P(x) par (x-a)
Lire " loi de formation du quotient"

http://img175.imageshack.us/my.php?image=divisionparxaqd0.jpg