Espaces normés

[legeniedesalpages]

Bonjour,

On considère un l'evn avec , .

Je bloque pour montrer qu'il existe tel que pour tout , on ait .

Merci pour votre aide.

[yos]

Salut.
En minorant par 2xy, tu arrives à avec a et b quelconques dans [0,1].
Puis . Ensuite tu choisis a et b réalisant l'inf et le sup de f respectivement. Enfin tu trouves un C tel que (il existe dés que f est non constante; si f est constante c'est trivial).
Je crois que ça marche.

[totom]

Salut,
bonne idée mais ton C final dépend de f.
Il suffit de voir que f(b)-f(a) est supérieur à la norme sup, et c'est fini. A plus

[Doraki]

yos, ton C dépend pas mal de ta fonction f...
Il faut que a et b réalisent l'inf et le sup de f² respectivement.
Comme l'a dit yos, en minorant f²+f'² par +- 2ff' (choisir le signe selon le signe de a-b) sur [a,b] et 0 ailleurs, tu peux bien dire que N²(f) >= f²(b) - f²(a).
Ensuite tu minores f²+f'² par f²(a) pour dire que N²(f) >= f²(a).
Et de là tu peux conclure que 2.N²(f) >= f²(b) et donc t'obtiens ce que tu veux avec C = racine de 2.

[yos]

yos, ton C dépend pas mal de ta fonction f...

En effet, j'ai été un peu vite.
Ton truc a l'air bien.

[legeniedesalpages]

Merci c'est beaucoup plus clair.

[legeniedesalpages]

Un peu plus loin j'ai un souci aussi:

On considère le sous-espace fermé . Il faut montrer que
est une norme sur équivalente à .

Bon pour montrer que c'est une norme pas de problème, et on a .

Ensuite j'ai du mal à trouver tel que .

Edit: j'ai corrigé la définition de N'

[leon1789]

Pardon, mais quelle est la définition de N' ?

[legeniedesalpages]

oups désolé j'ai rogné un bout:

[yos]

Peut-être Cauchy-Schwarz appliqué à f' et 1 pour montrer que .

[legeniedesalpages]

Peut-être Cauchy-Schwarz appliqué à f' et 1 pour montrer que .

En utilisant CS, j'ai



donc

ie

ie

et de là je ne vois pas comment en déduire que ? Pourquoi faire intervenir la norme sup?

[Doraki]

tu n'es pas obligé de faire l'intégrale sur le segment [0,1], tu peux t'arrêter à n'importe quel x entre [0,1] :
pour tout x,

[legeniedesalpages]

ah oui effectivement, merci Doraki.

[legeniedesalpages]

je ne saisis pas le lien qu'il y a entre et .

[Doraki]

Ben ça sert si tu réussis à montrer qu'il existe C tel que C * N(f) <= || f || ?

[yos]

C'est pas N(f') mais N'(f). Ensuite tu utilises la relation de la question précédente.

[legeniedesalpages]

ok, on a et de la relation précédente on sait qu'il existe tel que
pour toute , ,

et de ces deux inégalités, je dois en déduire qu'il existe tel que ? :hein:

[Doraki]

En fait nan la minoration de N(f) de la première question est inutile puisqu'on est en train de faire l'inverse.

T'as remarqué que ?
Tu peux montrer qu'il existe C > 0 tel que ?

[legeniedesalpages]

ah oui d'accord avec, , merci.

Il y a encore un autre point qui me perturbe, c'est pour voir si et sont équivalentes.

Je pense que non, et je pensais avoir trouvé un contre-exemple, mais je me suis trompé. :mur:

[Doraki]

Pour ça, regarde

Sinon, tu peux détailler ta preuve avec C=2 ?