Equation cartésienne sphère

[Arnaud G]

bah voilà. moi j'ai vu les equations cartésiennes des droites et des plans, mais pas des sphères

je sais que c'est (x-c1)²+ (y-c2)² + (z-c3)² = r²

mais je n'ai pas vu comment appliquer dans des exercices comme celui qui suit :

Donne une equation cartésienne de la sphère S de rayon 10 et comprenant les points A(1;0;1) B (0;1;1) et C (2;1;3)

j'ai comme idée de faire un système d'équation en remplaçant x, y et z par les coordonnées des points à chaque fois, mais ça a pas l'air de marcher :s.

[Nightmare]

Bonsoir,

Oui tu peux faire ça, sinon tu peux chercher le centre de la sphère!

[Arnaud G]

et comment on s'y prend pour trouver le centre?

[Nightmare]

Eh bien tu cherches un point M qui soit à équidistance des 3 points. Tu as 3 points, 3 inconnues. Parfait.

[Arnaud G]

et on fait ça comment ? :hum:

[nuage]

Salut,

Eh bien tu cherches un point M qui soit à équidistance des 3 points. Tu as 3 points, 3 inconnues. Parfait.

je ne suis pas vraiment d'accord, ça voudrait dire qu'une sphère est déterminée par 3 points, ce qui est manifestement faux. Il y a beaucoup de points équidistant de A, B et C. En fait tous les situés sur la perpendiculaire au plan (ABC) passant par le centre du cercle circonscrit au triangle ABC.

La méthode qui me semble la plus simple est de résoudre le système obtenu à partir de
(x-c1)²+ (y-c2)² + (z-c3)² = 10²
en remplaçant x y et z par les coordonnées de A B et C.

[Arnaud G]

bah c'est ce que j'ai fait, mais j'obtiens un truc méga long et méga bizare et je n'arrive pas à éliminer les C1 C2 C3 :mur:

[nuage]

En principe tu dois avoir obtenu


Après ça le calcul est, en effet assez merdique.
Il y a 2 solutions symétriques par rapport au plan ABC (c'est une évidence)
Comme il est vraiment l'heure que j'aille dormir je m'arrête ici.

[Arnaud G]

bon ben j'ai effectué et tout et j'obtiens c1 = c2 = 14.405 ou -9.071 et c3 = -11.405 ou 12.071 ...

Donc j'essaie de vérifier, et paf ça marche pas =(

pleaaaaaaaaase aidez moi =)

[leon1789]

Tu t'es trompé dans les calculs.
Indications :
c1 = c2
le polynôme 3t²-12t-86 a une certaine importance...

[Arnaud G]

oui c'est ce que j'avais trouvé pour c1 = c2

mais mon polynôme à moi est 3c1² -8c1 - 98 = 0

et c'est de là que je trouve les racines...

j'aimerais donc, si ça ne te dérange pas, puisque je ne vois pas ma faute, si tu pouvais me donner ton raisonnement à partir de C1 = C2

jusqu'à ton delta s'il te plait :we:

[Arnaud G]

EDIT: post à fermé j'ai trouvé la réponse...

cependant, je ne comprends pas ma faute.

Parce que j'avais trouvé c1 = c2 et c1 = 3-c3

je remplaçais tout par c1 et j'obtenais ce que j'avais obtenu dans mon post précédent.

Ici c'est par hasard que je remplace en fait tous mes c1 et c2 par leur valeur en c3 que je trouve ce qu'on m'a donné comme réponse.

Je ne comprends donc pas pourquoi ça marche dans un sens et pas dans l'autre :mur:

[Black Jack]

En principe tu dois avoir obtenu


Après ça le calcul est, en effet assez merdique.

Pas vraiment, c'est même assez direct.

En soustrayant membre à membre les équations (2) et (3) on obtient une relation toute simple entre C1 et C3

En soustrayant membre à membre les équations (1) et (2) on obtient une relation toute simple entre C1 et C2

et ...

:zen:

[Arnaud G]

c'est exactement ce que j'ai fait ;-)

hier aussi j'avais fait ça

et j'avais obtenu c1 = c2 et C3= 3-c1

mais je remplaçais dans mon équation les c 2 et c3 par les relations au dessus

et ça marchais pas

et puis j'ai remplacé mes C1 et C2 aujourd'hui par mes relations de C3 et ça a marché ... alors je comprends pas :hum:

[Black Jack]

Parce que j'avais trouvé c1 = c2 et c1 = 3-c3

C'est tout à fait correct.

C'est donc après que tu as du faire une erreur.

:zen:

[Black Jack]

Puisque tu as trouvé, voila :

C2 = C1
C3 = 3 - C1

(1-C1)²+C2²+(1-C3)² = 100
(1-C1)²+C1²+(C1-2)² = 100
et en développant et simplifiant, on arrive à
3C1² - 6C1 - 95 = 0
...

:zen: